Question

如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=4cm，AB=12cm，CD=8cm點(diǎn)P從A開始沿AB邊向B以3cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從C開始沿CD邊向D以1cm/s的速度移動，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（s）．
（1）t為何值時(shí)，四邊形APQD是平行四邊形？
（2）如圖2，如果⊙P和⊙Q的半徑都是2cm，那么，t為何值時(shí)，⊙P和⊙Q外切？

Answer 1

【答案】分析：（1）表面問四邊形APQD是平等四邊形，實(shí)質(zhì)為AP=DQ．容易得AP=3t，DQ=8-t，列方程3t=8-t即解；
（2）關(guān)鍵理解：什么情況下⊙P和⊙Q外切？⊙P和⊙Q外切就是PQ=AD根據(jù)題意有兩種可能：?APQD、等腰梯形APQD．?APQD就是AP=DQ等腰梯形APQD就是PB=CQ．分別列方程可解
解答：解：（1）∵DQ∥AP，
∴當(dāng)AP=DQ時(shí)，四邊形APQD是平行四邊形．此時(shí)，3t=8-t．解得t=2（s）．即當(dāng)t為2s時(shí)，四邊形APQD是平行四邊形．

（2）∵⊙P和⊙Q的半徑都是2cm，
∴當(dāng)PQ=4cm時(shí)，⊙P和⊙Q外切．而當(dāng)PQ=4cm時(shí)，如果PQ∥AD，那么四邊形APQD是平行四邊形．
①當(dāng)四邊形APQD是平行四邊形時(shí)，由（1）得t=2（s）．
②當(dāng)四邊形APQD是等腰梯形時(shí)，∠A=∠APQ．
∵在等腰梯形ABCD中，∠A=∠B，
∴∠APQ=∠B．
∴PQ∥BC．
∴四邊形PBCQ平行四邊形．此時(shí)，CQ=PB．
∴t=12-3t．解得t=3（s）．
綜上，當(dāng)t為2s或3s時(shí)，⊙P和⊙Q相切．
點(diǎn)評：此題考查平行四邊形性質(zhì)及等腰梯形性質(zhì)的理解及運(yùn)用．