Question

如圖，矩形AOCD的頂點A的坐標是（0，4）．動點P從點O出發(fā)沿線段OC（不包括端點O，C）以每秒2個單位長度的速度勻速向點C運動，同時動點Q從點C出發(fā)沿線段CD（不包括端點C，D）以每秒1個單位長度的速度勻速向點D運動．當其中一點到達終點時，另一點也停止運動．設運動時間為t（秒），當t=2（秒）時，PQ=．解答下列問題：

（1）求點D的坐標；

（2）直接寫出t的取值范圍；

（3）連接AQ并延長交x軸于點E，把AQ沿AD翻折，點Q落在CD延長線上點F處，連接EF．

①t為何值時，PQ∥AF；

②△AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數(shù)關系式；若不變化，求出S的值．

Answer 1

（1）D（8，4）；（2）0＜t＜4；（3）①t=6-，②結論：△AEF的面積S不變化， S=32.

【解析】（1）由題意可知：當t=2秒時，OP=4，CQ=2，設OC=x，則PC=x-4，∵在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC²+CQ²=PQ²，∴（x-4）²+2²=（）²，x₁=8，x₂=0（不符合題意舍去），∵矩形AOCD的頂點A的坐標是（0，4），∴D（8，4）.

（2）∵D（8，4），∴t的取值范圍是：0＜t＜4.

（3）①∵PQ∥AF，∴∠PQC=∠AFD，∵∠ADF=∠PCQ=90°，∴△CPQ∽△DAF，

∴，由翻折變換的性質可知：DF=DQ=4-t，∴，化簡得，t₁=6+，t₂=6-，由（2）知0＜t＜4，∴t₁=6+＞4舍去，

∴當t=6-時，PQ∥AF；

②結論：△AEF的面積S不變化.

理由是：∵四邊形AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴∠DAQ=∠CEQ,∵∠DQA=∠CQE,∴△AQD∽△EQC，∴，∴，，由翻折變換的性質可知：DF=DQ=4-t，則CF=CD+DF=8-t，∴S=S_梯形AOCF+S_△CEF-S_△AOE=（OA+CF）×OC+CF×CE-OA×OE=[4+（8-t）]×8+（8-t）×-×4×（8+）=32（定值）.

∴△AEF的面積S不變化，S=32．