Question

如圖是一塊含30°（即∠CAB=30°）角的三角板和一個(gè)量角器拼在一起，三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合，其量角器最外緣的讀數(shù)是從N點(diǎn)開(kāi)始（即N點(diǎn)的讀數(shù)為0），現(xiàn)有射線CP繞點(diǎn)C從CA方向順時(shí)針以每秒2度的速度旋轉(zhuǎn)到CB方向，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．
（1）當(dāng)射線CP分別經(jīng)過(guò)△ABC的外心、內(nèi)心時(shí)，點(diǎn)E處的讀數(shù)分別是多少？
（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)x秒后，E點(diǎn)處的讀數(shù)為y度，求y與x的函數(shù)式．
（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時(shí)，連接BE，求證：BE=CE．

Answer 1

分析：（1）CP過(guò)△ABC外心時(shí)（即過(guò)O點(diǎn)）時(shí)，∠BCE=60°，根據(jù)圓周角定理，則點(diǎn)E處的讀數(shù)是120°；當(dāng)CP過(guò)△ABC的內(nèi)心時(shí)，即CP平分∠ACB，則∠BCE=45°，根據(jù)圓周角定理，則點(diǎn)E處的讀數(shù)是90°．
（2）由于每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)一樣，所以旋轉(zhuǎn)x秒后，∠BCE的度數(shù)為90°-2x，從而得出∠BOE的度數(shù)，也即可得出y與x的函數(shù)式．
（3）根據(jù)已知，知旋轉(zhuǎn)了15°，即可求得∠EBC=∠BCE=75°，從而證明結(jié)論．

解答：解：（1）∵∠BCA=90°，
∴△ABC的外接圓就是量角器所在的圓，
當(dāng)CP過(guò)△ABC外心時(shí)（即過(guò)O點(diǎn)），
∵∠CAB=30°，
∴∠BCE=60°，
∴∠BOE=120°，即E處的讀數(shù)為120，
當(dāng)CP過(guò)△ABC的內(nèi)心時(shí)，∠BCE=45°，∠EOB=90°，
∴E處的讀數(shù)為90．
（2）旋轉(zhuǎn)x秒后，∠BCE的度數(shù)為90-2x，∠BOE的度數(shù)為180°-4x，
故可得y與x的函數(shù)式為：y=180°-4x；
（3）在圖2中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時(shí)，∠PCA=2×7.5°=15°，∠ECA=∠EBA=15°，
則∠BCE=75°，
∵∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°，
∴BE=EC．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于圓的綜合題，解答一次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實(shí)際問(wèn)題有意義，且由每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)相等，由圖得出相等的角，并掌握量角器的用法和對(duì)含有30°三角板的運(yùn)用．