Question

如圖是一塊含30°（即∠CAB=30°）角的三角板和一個(gè)量角器拼在一起，三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合，其量角器最外緣的讀數(shù)是從N點(diǎn)開始（即N點(diǎn)的讀數(shù)為0），現(xiàn)有射線CP繞著點(diǎn)C從CA順時(shí)針以每秒2度的速度旋轉(zhuǎn)到與△ACB外接圓相切為止．在旋轉(zhuǎn)過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．
（1）當(dāng)射線CP與△ABC的外接圓相切時(shí)，求射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù)是多少？
（2）當(dāng)射線CP分別經(jīng)過△ABC的外心、內(nèi)心時(shí)，點(diǎn)E處的讀數(shù)分別是多少？
（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時(shí)，連接BE，求證：BE=CE．

Answer 1

（1）解：連接OC．
∵射線CP與△ABC的外接圓相切，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù)是120°；

（2）解：∵∠BCA=90°，
∴△ABC的外接圓就是量角器所在的圓．
當(dāng)CP過△ABC外心時(shí)（即過O點(diǎn)），∠BCE=60°，
∴∠BOE=120°，即E處的讀數(shù)為120，
當(dāng)CP過△ABC的內(nèi)心時(shí)，∠BCE=45°，∠EOB=90°，
∴E處的讀數(shù)為90．

（3）證明：在圖2中，
∵∠PCA=2×7.5°=15°，∠BCE=75°，∠ECA=∠EBA=15°，
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°，
∴BE=EC．
分析：（1）連接OC．根據(jù)切線的性質(zhì)，得∠OCP=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得∠ACO=∠A，從而求得射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù)．
（2）當(dāng)CP過△ABC外心時(shí)（即過O點(diǎn)）時(shí)，∠BCE=60°，根據(jù)圓周角定理，則點(diǎn)E處的讀數(shù)是120°；
當(dāng)CP過△ABC的內(nèi)心時(shí)，即CP平分∠ACB，則∠BCE=45°，根據(jù)圓周角定理，則點(diǎn)E處的讀數(shù)是90°．
（3）根據(jù)已知，知旋轉(zhuǎn)了15°，即可求得∠EBC=∠BCE=75°，從而證明結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了切線的性質(zhì)、圓周角定理和等腰三角形的判定和性質(zhì)．