Question

（1）如圖1，已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E、F在直線AB上，∠ECF=∠B，
①△ACF與△BEC的關(guān)系為______．
②設(shè)△ABC的面積為S，求證：AF•BE=2S．
（2）如圖2，將（1）中的∠ACB=90°改為∠ACB=α°，求證：AF•BE=．
（3）如圖3，在 （2）中的條件不變的情況下，（2）中的結(jié)論是否成立？（直接寫出結(jié)論，不用說明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）①可證明∠A=∠B=45°，再根據(jù)外角的性質(zhì)和已知條件可得出∠ACF=∠BEC，利用兩對對應(yīng)角相等的兩個三角形相似可得出△ACF∽△BEC；
②利用相似三角形△ACF∽△BEC的對應(yīng)邊成比例、直角三角形的面積公式證得AF•BE=2S；
（2）利用兩對對應(yīng)角相等的兩個三角形相似可得出△ACF∽△BEC；然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例、三角形的面積公式S=absinC證得結(jié)論；
（3）根據(jù)等邊對等角證得∠A=∠CBA，再根據(jù)外角的性質(zhì)和已知條件可得出∠AFC=∠BCE，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△ACF∽△BEC；然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例、三角形的面積公式S=absinC證得結(jié)論．
解答：（1）解：①△ACF∽△BEC，理由為：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠BEC=∠ACE+∠A=∠ACE+45°，
∵∠ECF=45°，
∴∠ACF=∠ACE+45°，
∴∠ACF=∠BEC，又∠A=∠B，
∴△ACF∽△BEC．
故答案為：△ACF∽△BEC；

②證明：∵△ACF∽△BEC，
∴=，
∴AC•BC=BE•AF，
∴S_△ABC=AC•BC=BE•AF，
∴AF•BE=2S；

（2）證明：∵AC=BC，
∴∠A=∠CBA（等邊對等角），
∴∠BEC=∠ACE+∠A（三角形外角定理）．
又∵∠ACF=∠ACE+∠ECF，∠ECF=∠CBA，
∴∠ACF=∠BEC，
又∵∠A=∠CBA，
∴△ACF∽△BEC；
∴=，
∴AC•BC=BE•AF，
∴S=AC•BCsin∠ACB=BE•AFsin∠ACB=BE•AFsinα，即AF•BE=．

（3）解：（2）中的結(jié)論能成立，理由如下：
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B（等邊對等角），
∵∠AFC=∠B+∠FCB（三角形外角定理），∠BCE=∠ECF+∠FCB，∠ECF=∠B
∴∠AFC=∠BCE，又∠A=∠B，
∴△ACF∽△BEC；
∴=，
∴AC•BC=BE•AF，
∴S=AC•BCsin∠ACB=BE•AFsin∠ACB=BE•AFsinα，即AF•BE=．
點(diǎn)評：本題考查了相似綜合題．涉及到的知識點(diǎn)有相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式．