Question

【題目】在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，點(diǎn)D為直線BC上的一動點(diǎn)，以AD為邊作△ADE（頂點(diǎn)A、D、E按逆時(shí)針方向排列），且∠DAE＝90°，AD＝AE，連接CE.

⑴ 如圖1，若點(diǎn)D在BC邊上（點(diǎn)D與B、C不重合），求∠BCE的度數(shù).

⑵ 如圖2，若點(diǎn)D在CB的延長線上，若DB＝5，BC＝7，求△ADE的面積．

Answer 1

【答案】（1）∠BCE＝90°；（2）.

【解析】試題分析：

（1）由已知條件證△ABD≌△ACE，可得∠ACE=∠B=45°，從而可得∠BCE=∠ACE+∠ACB=90°；

（2）同（1）由已知條件證△ABD≌△ACE，可得CE=BD=5及∠ACE=∠ABD=180°-45°=135°，從而可得∠DCE=∠ACE-∠ACB=90°，這樣在Rt△DCE中由勾股定理可求得DE的長，再過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，由等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)可得AF=DE，這樣就可由S△ADE=DEAF求得面積了.

試題解析：

(1)如圖1，∵ ∠BAC＝90°，∠DAE＝90°,

∴ ∠BAD＋∠DAC＝90°，∠EAC＋∠DAC＝90°,

∴ ∠BAD＝∠EAC .

在△ABD和△ACE中， ，

∴ △ABD≌△ACE （SAS）

∴ ∠ACE＝∠B

∵ ∠BAC＝90°

∴ ∠B＋∠ACB＝90°

∴ ∠ACE＋∠ACB＝90° 即：∠BCE＝90°.

(2) 如圖2，過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F.

∵ AD=AE，

∴ 點(diǎn)F是DE的中點(diǎn).

∵ ∠DAE＝90°，

∴.

同（1）可證：△ABD≌△ACE，

∴EC=BD=5，∠ABD＝∠ACE=180°-∠ABC=135°，

∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=90°，

又∵DC=BD+BC=5+7=12，

∴DE=.

∴AF=.

∴ △ADE的面積為＝