Question

已知：如圖A，△ABC各角的平分線AD，BE，CF交于點O．
（1）試說明∠BOC=90°+

1

2

∠BAC；
（2）如圖B，過點O作OG⊥BC于G，試判斷∠BOD與∠COG的大小關(guān)系（大于，小于或等于），并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），再次根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC=180°-

1

2

（180°-∠BAC），然后化簡即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠ABO=

1

2

∠ABC，∠BAO=

1

2

∠BAC，∠OCG=

1

2

∠ACB，根據(jù)三角形外角性質(zhì)有∠BOD=∠ABO+∠BAO=

1

2

（∠ABC+∠BAC），再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BOD=

1

2

（180°-∠ACB）=90°-∠OCG，根據(jù)垂直的性質(zhì)得到∠COG=90°-∠OCG，即可得到∠BOD=∠COG．

解答：（1）證明：∵OB、OC分別平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠BAC）
=180°-90°+

1

2

∠BAC
=90°+

1

2

∠BAC；
（2）解：∠BOD=∠COG．理由如下：
∵△ABC各角的平分線AD，BE，CF交于點O，
∴∠ABO=

1

2

∠ABC，∠BAO=

1

2

∠BAC，∠OCG=

1

2

∠ACB，
∴∠BOD=∠ABO+∠BAO=

1

2

（∠ABC+∠BAC）
=

1

2

（180°-∠ACB）
=90°-∠OCG，
∵OG⊥BC于G，
∴∠OGC=90°，
∴∠COG=90°-∠OCG，
∴∠BOD=∠COG．

點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°．也考查了三角形角平分線與高線以及三角形外角性質(zhì)．