Question

如圖，過A（8，0）、B（0，8）兩點的直線與直線y=x交于點C、平行于y軸的直線l從原點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右平移，到C點時停止；l分別交線段BC、OC于點D、E，以DE為邊向左側(cè)作等邊△DEF，設(shè)△DEF與△BCO重疊部分的面積為S（平方單位），直線l的運動時間為t（秒）．
（1）直接寫出C點坐標和t的取值范圍；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)直線l與x軸交于點P，是否存在這樣的點P，使得以P、O、F為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)l的解析式為：y=kx+b， 把A（8，0）、B（0，8）分別代入解析式， 得：，解得：k=﹣， 則函數(shù)解析式為：y=﹣x+8． 將y=﹣x+8和y=x組成方程組， 得：，解得：． 故得C（4，）， ∵OA=8， ∴t的取值范圍是：0≤t≤4； （2）作EM⊥y軸于M，DG⊥y軸于點G， ∵D點的坐標是（t，﹣t+8）， E點的坐標是（t，t）， ∴DE=﹣t+8﹣t=8﹣2t； ∴等邊△DEF，DE邊上的高為：DE=12﹣3t； 根據(jù)E點的坐標，以及∠MNE=60°， 得出MN=t， 同理可得：GH=t， ∴可求梯形上底為：8﹣2t﹣t， ∴當點F在BO邊上時：12﹣3t=t， ∴t=3． 當0≤t<3時，重疊部分為等腰梯形，可求梯形面積為： S=（8﹣2t+8﹣2t﹣t） =（16﹣t） =﹣t2+8t； 當3≤t≤4時，重疊部分為等邊三角形，可求面積為： S=（8﹣2t）（12﹣3t） =3t2﹣24t+48； （3）存在，P（，0）； 說明：∵FO≥4，F(xiàn)P≥4，OP≤4， ∴以P，O，F(xiàn)以頂點的等腰三角形，腰只有可能是 FO，F(xiàn)P，若FO=FP時，t=2（12﹣3t），t=， ∴點P的坐標為（，0）．