Question

一座拱橋的輪廓是拋物線型（如圖1所示），拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m．
（1）將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中（如圖2所示），其表達(dá)式是y=ax²+c的形式．請根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出a，c的值．
（2）求支柱MN的長度．
（3）拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計）？請說說你的理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目可知A．B，C的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的解析式代入可求解．
（2）設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，y_N）可求出支柱MN的長度．
（3）設(shè)DN是隔離帶的寬，NG是三輛車的寬度和．做GH垂直AB交拋物線于H則可求解．

解答：解：（1）根據(jù)題目條件，A、B、C的坐標(biāo)分別是（-10，0）、（10，0）、（0，6）．
將B、C的坐標(biāo)代入y=ax²+c，得

6=c 0=100a+c.

解得a=-

3

50

，c=6．
所以拋物線的表達(dá)式是y=-

3

50

x2+6；

（2）可設(shè)N（5，y_N），于是yN=-

3

50

×52+6=4.5．
從而支柱MN的長度是10-4.5=5.5米；

（3）設(shè)DE是隔離帶的寬，EG是三輛車的寬度和，則G點(diǎn)坐標(biāo)是（7，0），
（7=2÷2+2×3）．
過G點(diǎn)作GH垂直AB交拋物線于H，則yH=-

3

50

×7²+6=3+

3

50

＞3．
根據(jù)拋物線的特點(diǎn)，可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．