Question

如圖①，A（4，0），C（0，n）分別是x和y軸上的點(diǎn)，n＞0，以O(shè)A，OC為邊在第一象限內(nèi)作矩形OABC，對(duì)角線OB，AC，交于點(diǎn)D雙曲線y=

k

x

（x＞0，k＞0）交邊BC于G，交邊AB于H．
（1）設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=qx+p，請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示q和p．
（2）求證：

BG

BC

=

BH

BA

；
（3）如圖②，若上述雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，判斷點(diǎn)D是否是雙曲線與直線AC唯一的交點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)y=qx+p，將點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)C（0，n）代入即可用含n的代數(shù)式表示q和p；
（2）根據(jù)點(diǎn)G和點(diǎn)H均在y=

k

x

上，設(shè)H（4，

k

4

），G（

k

n

，n）從而得到BG=4-

k

n

=

4n-k

n

，BH=n-

k

4

=

4n-k

4

，利用

BG

BH

=

4

n

=

BC

AB

，即可證得

BG

BC

=

BH

BA

；
（3）設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，

n

2

），然后得到y(tǒng)=

n

x

，聯(lián)立組成方程組即可得整理得到方程-x²+4x=4，根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根判斷點(diǎn)D是雙曲線與直線AC唯一的交點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)y=qx+p
由A（4，0）得0=4q+p，
由C（0，n）得n=p，
∴q=-

n

4

，p=n； 
（2）∵點(diǎn)G和點(diǎn)H均在y=

k

x

上，
∴設(shè)H（4，

k

4

），G（

k

n

，n）
所以BG=4-

k

n

=

4n-k

n

，BH=n-

k

4

=

4n-k

4

，
∴

BG

BH

=

4

n

=

BC

AB

，
即

BG

BC

=

BH

BA

；

（3）設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，

n

2

），
當(dāng)x=2，y=

n

2

時(shí)，

n

2

=

k

2

，k=n，
∴y=

n

x

，
由

y=- n 4 x+n y= n x

得-

n

4

x+n=

n

x

即-nx²+4nx=4n，
-x²+4x=4，
解得：x₁=x₂=2，
∴點(diǎn)D是雙曲線與直線AC唯一的交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用未知數(shù)將點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，難度中等偏上．