Question

如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α．將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．

（1）求證：△COD是等邊三角形；

（2）當(dāng)α=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；

（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）直角三角形；（3）140°或110°或125°

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得結(jié)論；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論即可作出判斷；

（3）找到變化中的不變量，然后利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)即可做出解答．

（1）根據(jù)題意知：△BOC≌△ADC

所以CO＝OD，ΔABC為等腰三角形

因?yàn)椤螩OD＝60°

所以△ADO是等邊三角形

（2）由△ADO是等邊三角形知∠ODC＝60°

由旋轉(zhuǎn)知∠ADC＝∠BOC=150^O

所以∠ADO=150-60=90^O

所以三角形AOD為直角三角形

（3）1)當(dāng)DO＝DC時(shí)

因?yàn)镈O＝AO，DC＝BO    

所以O(shè)A＝OB

又因?yàn)镺C＝OC，AC＝BC    

所以△ACO≌△BCO

所以∠ACO＝∠BCO＝60°/2＝30°  

因?yàn)椤螧OC＝110°

所以∠AOC＝110°    

所以∠AOB＝360°－110°×2＝140°即x＝140

2)當(dāng)DO＝CO時(shí)

因?yàn)镈O＝AO所以O(shè)A＝OC    

又因?yàn)镺B＝OB，AB＝BC

所以△ABO≌△CBO     

所以∠AOB＝∠COB＝110°即x＝110°

3)當(dāng)CO＝CD時(shí)

因?yàn)镃D＝BO

所以CO＝BO

因?yàn)锳O＝AO，AB＝AC

所以△ABO≌△ACO

所以∠AOB＝∠AOC

所以∠AOB＝(360°－110°)÷2＝125°，解得x＝125°

綜上所述，當(dāng)x＝140°或x＝110°或x＝125°時(shí)△DOC是等腰三角形

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰（邊）三角形的判定與性質(zhì)

點(diǎn)評：本題以“空間與圖形”中的核心知識（如等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與證明、直角三角形的判定、多邊形內(nèi)角和等）為載體，內(nèi)容由淺入深，層層遞進(jìn)．試題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊(yùn)含著豐富的思想方法（如運(yùn)動(dòng)變化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想等），能較好地考查學(xué)生的推理、探究及解決問題的能力．