Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象與反比例y= （k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A（1，a）在一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象上，

∴a=﹣1+3=2，

∴點(diǎn)A（1，2）．

∵點(diǎn)A（1，2）在反比例y= （k為常數(shù)，且k≠0）的圖象上，

∴k=1×2=2，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y= ．

聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)關(guān)系式成方程組，得：

，解得： ， ，

∴點(diǎn)B（2，1）

（2）

解：作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（2，﹣1），連接AB’，交x軸于點(diǎn)P，連接PB，如圖所示．

∵點(diǎn)B、B′關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴PB=PB′．

∵點(diǎn)A、P、B′三點(diǎn)共線，

∴此時(shí)PA+PB取最小值．

設(shè)直線AB′的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n（m≠0），

將A（1，2）、B（2，﹣1）代入y=mx+n，

，解得： ，

∴直線AB′的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣3x+5．

當(dāng)y=﹣3x+5=0時(shí)，x= ，

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，0）．

【解析】（1）將x=1代入直線AB的函數(shù)表達(dá)式中即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式，聯(lián)立兩函數(shù)表達(dá)式成方程組，通過(guò)解方程組即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（2，﹣1），連接AB’，交x軸于點(diǎn)P，連接PB，由兩點(diǎn)之間線段最短可得出此時(shí)PA+PB取最小值，根據(jù)點(diǎn)A、B′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB′的函數(shù)表達(dá)式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．