Question

等腰直角三角形ABC的斜邊BC的長(zhǎng)為8，直線MN∥BC且與AB、AC分別交于M、N，將△AMN沿直線MN翻折得△A′MN，設(shè)△A′MN與△ABC重合部分面積為y，MN=x，
（1）當(dāng)A′在△ABC內(nèi)部時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求x的取值范圍；
（2）是否存在直線MN，使y的值為△ABC面積的？若存在，求對(duì)應(yīng)的x值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)锳′在ABC的內(nèi)部，所以△A′MN的面積既是△AMN的面積，從而利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）先計(jì)算△ABC的面積，分情況進(jìn)行討論：①當(dāng)A′在BC邊上或在△ABC內(nèi)部時(shí)，0＜y≤4，根據(jù)（1）的函數(shù)關(guān)系式可作出判斷；②當(dāng)A′在△ABC外部時(shí)，求出梯形MNED的面積，結(jié)合題意可得出x的值，符合題意即存在，不符合則不存在．
解答：解：（1）y=S_△A′MN=•x•x=x²（0＜x＜4）；

（2）S_△ABC=×8×4=16，當(dāng)A′在BC上時(shí)，x=4，y=4，
∴①當(dāng)A′在BC邊上或在△ABC內(nèi)部時(shí)，0＜y≤4，不在這個(gè)范圍內(nèi)，所以這時(shí)不存在直線MN．
②當(dāng)A′在△ABC外部時(shí)，連AA′交MN于F，交BC于G，且A′F=AF=x，
∴FG=4-x，
∴A′G=x-4+x=x-4，
∴DE=2A′G=2x-8，
∴y=（x+2x-8）×（4-x）=-x²+8x-16（其中4＜x＜8），
當(dāng)y=時(shí)，
∵-x²+8x-16=，
即：（3x-16）²=0，
解為x₁=x₂=，
∵4＜x＜8，
∴存在直線MN使重疊部分面積為△ABC面積的，
此時(shí)x=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查翻折變換及等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是正確的畫出示意圖，利用所學(xué)的知識(shí)表示出重疊的面積，要求同學(xué)們熟練基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，此類綜合題一般要求對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)比較熟悉才能解答出來(lái)．