Question

已知點A（a，b）為雙曲線（x＞0）圖象上一點．

（1）如圖1所示，過點A作AD⊥y軸于D點，點P是x軸任意一點，連接AP．求△APD的面積．

（2）以A（a，b）為直角頂點作等腰Rt△ABC，如圖2所示，其中點B在點C的左側，若B點的坐標為B（﹣1，0），且a、b都為整數(shù)時，試求線段BC的長．

（3）在（2）中，當?shù)妊黂t△ABC的直角頂點A（a，b）在雙曲線上移動時，B、C兩點也隨著移動，試用含a，b的式子表示C點坐標；并證明在移動過程中OC²﹣OB²的值恒為定值．

Answer 1

考點：

反比例函數(shù)綜合題．.

分析：

（1）由點A（a，b）在反比例函數(shù)上可得到ab=6，AD=a，OD=b，進而根據三角形的面積公式求出△APD的面積；

（2）過A作AE垂直x軸于E點，可得：E（a，0），由∠ABE=45°可得△ABE為等腰直角三角形，根據AE=BE，求出a和b的值，進而求出BC的長；

（3）分類討論B點在y軸的左側還是在y軸的右側，求出C點的坐標，可得OC的長，再用a和b表示出OB的長，兩式相減，觀察得到的結果是否為定值．

解答：

解：（1）由點A（a，b）在反比例函數(shù)上可得：

ab=6，AD=a，OD=b，

所以，

（2）過A作AE垂直x軸于E點，可得：E（a，0），

則由∠ABE=45°可得△ABE為等腰直角三角形，

∴AE=BE，

E在B右側且B坐標為（﹣1，0），

∴BE=a﹣（﹣1）=a+1，則a+1=b，

又∵ab=6且a、b都為整數(shù)．

∴a只能取2，b為3，

此時，BE=AE=CE=b=3，

∴BC=BE+CE=6，

（3）由（2）可知：EC=AE=BE=b；且不管點A如何移動，總有：OC=OE+EC=a+b，且C總在x軸正半軸，

∴C（a+b，0），

當B在y軸左側時，如圖2所示，則a＜b，

OB=BE﹣OE=b﹣a．

（a+b）²﹣（b﹣a）²=a²+2ab+b²﹣a²+2ab﹣b²=4ab=4×6=24，

∴OC²﹣OB²=24，

當B在y軸右側或與原點重合時，

如圖4所示，則a≥b，

∴OB=OE﹣BE=a﹣b，

∴OC²﹣OB²=（a+b）²﹣（a﹣b）²=a²+2ab+b²﹣a²+2ab﹣b²=4ab=4×6=24綜上所述：移動過程中OC²﹣OB²的值恒為24．

點評：

本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，解答本題的關鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質以及等腰三角形等知識，此題考查了分類討論的解題思路，此題難度有點大．