Question

一次函數(shù)y=

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x+2的圖象與x軸、y軸分別交于A、B，以AB為邊在第二象限內(nèi)作等邊△ABC．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)M（m，1），使S_△ABC=S_△ABM，求M點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)C′（2，0），在直線AB上是否存在一點(diǎn)P，使△AC′P為等腰三角形？若存在，求P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式我們可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2

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，0），（0，2），OA=2

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，OB=2，因此∠OAB=30°，因?yàn)槿�角形CAB是個(gè)等邊三角形，因此∠CAB=60°，那么CA⊥OA，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如果求出CA的長那么就能求出C點(diǎn)的坐標(biāo)了，根據(jù)AC=AB，有OA、OB的長，根據(jù)勾股定理我們可求出AB的長，也就求出AC的長，那么C點(diǎn)的坐標(biāo)就求出來了．
（2）根據(jù)S_△ABC=S_△ABM，兩三角形同底，也應(yīng)該等高，因此M與C必在與AB平行的直線上，因此這條直線的斜率與已知的函數(shù)的斜率相同，可用C點(diǎn)坐標(biāo)先確定MC所在直線的函數(shù)關(guān)系式，然后將M的坐標(biāo)代入其中求出M的坐標(biāo)．
（3）可分三種情況進(jìn)行討論：
①以P為頂點(diǎn)，AP、C′P為腰，圖1，過P作PD⊥AC，PD就是線段AC′的垂直平分線，AD=DC′=1+

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，
OD=C′D-OC′=

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-1，那么P的橫坐標(biāo)就是1-

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，代入函數(shù)式中即可求出P的坐標(biāo)為（1-

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，

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3

+1）
②以A為頂點(diǎn)，AP，AC′為腰．圖2可過P₁作P₁E⊥x軸于E，由（1）知，∠BAO的度數(shù)，又可根據(jù)A，C′的坐標(biāo)求出AC′的長，那么在直角三角形AP₁E中就能求出P₁E和AE的長，那么就能求出P₁的坐標(biāo)了，P₂的求法同P₁．
③以C′為頂點(diǎn)，以AC•C′P為腰．圖3，求法同第二種情況．

解答：解：（1）根據(jù)直線的函數(shù)關(guān)系式，我們可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2

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，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），
那么OA=2

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，OB=2，直角三角形ABO中，AG=

OA2+OB2

=4，∠BAO=30°，
根據(jù)三角形ABC是個(gè)等邊三角形，因此∠CAB=60°．∠CAO=∠CAB+∠BAO=90°，
因此C點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)該和A點(diǎn)相同，
∵CA=AB=BC，
∴AC=AB=4，
那么C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2

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，4）．

（2）由題意可知，C與M必在與AB平行的直線上，設(shè)這條直線為y=

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3

x+b，
將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入這條直線中得：-2+b=4，b=6，
因此這條直線的解析式是y=

3

3

x+6，
當(dāng)y=1時(shí)，

3

3

m+6=1，m=-5

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，
因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5

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，1），

（3）分三種情況：
①以P為頂點(diǎn)，AP，PC′為腰，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（1-

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，

3

3

+1），
②以A為頂點(diǎn)，AP、AC′為腰，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3-

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，-

3

-1）或（3-

3

，

3

+1），
③以C′為頂點(diǎn)，AC′，C′P為腰，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（

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+3，3+3

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），
因此存在這樣的點(diǎn)P，且P的坐標(biāo)為（1-

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，

3

3

+1）或（-3-

3

，-

3

-1）或（3-

3

，

3

+1）或（

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+3，3+3

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）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了一次函數(shù)和直角三角形的應(yīng)用，本題中利用直角三角形來求線段的長，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的基本思路．要注意第三問中要把所有的情況都考慮到，不要遺漏任何一種情況．