Question

4．已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，現(xiàn)將一個(gè)足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在斜邊AC上．
（1）設(shè)三角板的兩直角邊分別交邊AB、BC于點(diǎn)M、N．
①如圖1當(dāng)點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)時(shí)，分別作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，在圖中找到與△PEM相似的三角形并證明；
②在①的條件下，并直接寫(xiě)出PM與PN的數(shù)量關(guān)系．
（2）移動(dòng)點(diǎn)P，使AP=2CP，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中三角板的兩直角邊分別交邊AB、BC于點(diǎn)M、N（PM不與邊AB垂直，PN不與邊BC垂直）；或者三角板的兩直角邊分別交邊AB、BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)M、N．
③請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)出圖形，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并選擇其中一種圖形證明你的結(jié)論；
④當(dāng)△PCN是等腰三角形時(shí)，若BC=6cm，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)垂直的定義得到∠PEM=∠PFN=90°推出四邊形EBFP是矩形于是得到∠EPF=90°即∠2+∠3=90°等量代換得到∠1=∠3即可得到結(jié)論；
②求出AB=$\sqrt{3}$BC，求出PE=$\frac{1}{2}$BC，PF=$\frac{1}{2}$AB，推出$\frac{PE}{PF}=\frac{BC}{AB}$$\frac{1}{\sqrt{3}}$，求出∠EPM=∠NPF=90°-∠MPF，∠PEM=∠PFN=90°，根據(jù)相似三角形的判定推出△PFN∽△PEM，推出$\frac{PM}{PN}=\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，即可得出答案．
（2）③過(guò)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，求出△AEP∽∠PFC，推出$\frac{AP}{PC}=\frac{PE}{PF}$=$\frac{2PC}{PC}$=2，設(shè)CF=x，則PE=2x，求出PF=$\sqrt{3}$x，證△PEM∽△PFN，推出$\frac{PM}{PN}=\frac{PE}{PF}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$即可；
④求出CP=2cm，分為兩種情況：第一種情況：當(dāng)N在線段BC上時(shí)，得出△PCN是等邊三角形，求出CN=CP=2cm，代入BN=BC-CN求出即可；第二種情況：當(dāng)N在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求出CN=PC=2cm，代入BN=BC+CN求出即可．

解答 解：（1）①△PEM∽△PFN，
證明：∵PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F
∴∠PEM=∠PFN=90°
又∠ABC=90°，∠PEB=90°
∴四邊形EBFP是矩形
∴∠EPF=90°即∠2+∠3=90°
又∵∠2+∠1=90°
∴∠1=∠3
∴△PEM∽△PFN，
②PN=$\sqrt{3}$PM，
∵在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠C=60°，
∴AB=$\sqrt{3}$BC，
∵PE∥BC，PF∥AB，P為AC中點(diǎn)，
∴E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，
∴PE=$\frac{1}{2}$BC，PF=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{PE}{PF}=\frac{BC}{AB}$$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∵∠PEB=∠B=∠PFB=90°，
∴∠EPF=90°，
∵∠MPN=90°，
∴∠EPM=∠NPF=90°-∠MPF，
∵∠PEM=∠PFN=90°，
∴△PFN∽△PEM，
∴$\frac{PM}{PN}=\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴PN=$\sqrt{3}$PM；
（2）③結(jié)論：PM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$PN，選擇圖3，
證明：過(guò)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠AEP=∠PFC=∠B=90°，
∴PE∥BC，
∴∠APE=∠C，
∴△AEP∽∠PFC，
∴$\frac{AP}{PC}=\frac{PE}{PF}$=$\frac{2PC}{PC}$=2，
設(shè)CF=x，則PE=2x，
在Rt△PFC中，∠C=60°，∠PFC=90°，
∴PF=$\sqrt{3}$x，
∵在四邊形BFPE中，∠BFP=∠B=∠BEP=90°，
∴∠EPF=90°，
即∠EPM+∠MPF=90°，
∵∠NPF+∠MPF=90°，
∴∠NPF=∠EPM，
∵∠MEP=∠PFN=90°，
∴△PEM∽△PFN，
∴$\frac{PM}{PN}=\frac{PE}{PF}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴PM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$PN．

④解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，BC=6cm，
∴AC=2BC=12cm，
∵AP=2PC，
∴CP=4cm，
分為兩種情況：第一種情況：當(dāng)N在線段BC上時(shí)，如圖3，
∵△PCN是等腰三角形，∠C=60°，CP=4cm，
∴△PCN是等邊三角形，
∴CN=CP=4cm，
∴BN=BC-CN=6cm-4cm=2cm；
第二種情況：當(dāng)N在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，
∵∠PCN=180°-60°=120°，
∴要△PCN是等腰三角形，只能PC=CN，
即CN=PC=4cm，
∴BN=BC+CN=6cm+4cm=10cm，
即BN的長(zhǎng)是2cm或10cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)和判定，三角形中位線，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．用了分類(lèi)討論思想．