Question

如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點B′的位置，AB′與CD交于點E．
（1）試找出一個與△AED全等的三角形，并加以證明．
（2）若AB=8，DE=3，P為線段AC上的任意一點，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，PG+PH的值會變化嗎？若變化，請說明理由； 若不變化，請求出這個值．

Answer 1

解：（1）△CEB′≌△AED；
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ECA=∠CAB，∠D=∠B=90°，
由折疊的性質(zhì)得：∠EAC=∠CAB，∠B′=∠B，
∴∠EAC=∠ECA，∠B′=∠D，
∴EA=EC，
在△AED和△CEB′中，
∵，
∴△CEB′≌△AED（AAS）；

（2）PG+PH的值不變．
∵△CEB′≌△AED，
∴EB′=DE=3，
∵AB′=AB=8，
∴AE=AB′-EB′=8-3=5，
在Rt△ADE中，AD==4，
過點P作PK⊥AB于K，
∵∠B′AC=∠BAC，PG⊥AE，
∴PG=PK，
∵PH⊥CD，AB∥CD，
∴PH⊥AB，
∴H，P，K共線，
∵∠D=∠KHD=∠HKA=90°，
∴四邊形ADHK是矩形，
∴HK=AD=4，
∴PG+PH=PK+PH=HK=4．
分析：（1）由四邊形ABCD是矩形與折疊的性質(zhì)，易證得△EAC是等腰三角形，即EA=EC，然后由AAS即可證得△CEB′≌△AED；
（2）由△CEB′≌△AED，可得EB′=DE=3，又由AB=8，即可求得AE的長，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求得AD的長；再過點P作PK⊥AB于K，由角平分線的性質(zhì)，可得PK=PG，易證得四邊形ADHK是矩形，繼而可求得答案．
點評：此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．