Question

【題目】如圖1，等邊△ABC中，D為AC中點，∠EDF=120°，DF交AB于F點，且AF=nBF（n為常數(shù)，且n＞1）．

（1）求證：DF=DE；

（2）如圖1，求證：AF﹣CE=AB；

（3）如圖2，當(dāng)n=　 　時，過D作DM⊥BC于M點，C為EM的中點．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）3．

【解析】

（1）過D點作DG∥BC交AB于G點，證明△DGF≌△DCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GF=CE，結(jié)合圖形證明；

（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CM=CD，得到GF=AG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答．

解：（1）證明：過D點作DG∥BC交AB于G點，

∵DG∥BC，

∴∠ADG=∠ACB=60°=∠A，

∴△AGD為等邊三角形，

∴GD=AD=DC，

∵∠GDC=∠FDE=120°，

∴∠GDF=∠DCE，

在△DGF和△DCE中，

∴△DGF≌△DCE（ASA）

∴DF=DE；

（2）∵△DGF≌△DCE，

∴GF=CE，

∵DG∥BC，D為AC中點，

∴AG=AB，

∴AF﹣CE=AF﹣GF=AG=AB；

（3）∵DM⊥BC，∠DCM=60°，

∴CM=CD，

∵C為EM的中點，

∴CE=CD，

由（1）得，CE=GF，

∴GF=CD，

∴GF=AG=GB，

∴AF=3BF，

∴n=3，

故答案為：3．