(2009•湘潭)如圖,AB是⊙O的直徑,CD是弦,CD⊥AB于點(diǎn)E,
(1)求證:△ACE∽△CBE;
(2)若AB=8,設(shè)OE=x(0<x<4),CE2=y,請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(3)探究:當(dāng)x為何值時,tan∠D=

【答案】分析:(1)要證兩三角形相似,就要找出兩組相等的對應(yīng)角.已知了一組直角,而∠CAE和∠ECB都是∠ACE的余角,因此這兩個角就相等,由此可證得兩三角形相似;
(2)在直角△ACB中,根據(jù)射影定理,可得出CE2=AE•BE,其中CE2=y,AE=4+x,BE=4-x,由此可得出關(guān)于x,y的函數(shù)關(guān)系式.
(3)已知了∠D的正切值,也就知道了∠A的正切值,也就是CE,AE的比例關(guān)系式,(2)中已得出了CE2,AE的表達(dá)式,那么可根據(jù)CE,AE的比例關(guān)系求出x的值.
解答:(1)證明:∵AB為⊙O直徑,
∴∠ACB=90°,即∠ACE+∠BCE=90°.
又CD⊥AB,∴∠A+∠ACE=90°,
∴∠A=∠ECB,
∴Rt△ACE∽Rt△CBE;

(2)解:∵△ACE∽△CBE,

即CE2=AE•BE=(AO+OE)(OB-OE),
∴y=(4+x)(4-x)=16-x2

(3)解:∵tan∠D=,即tan∠A=,
=
=,
=
解得x=2或x=-4(舍去).
故當(dāng)x=2時,tan∠D=
點(diǎn)評:本題主要考查了圓周角定理,相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn).
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(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(不與A,B重合)時,求證:OA•BQ=AP•BP;
(2)在(1)成立的條件下,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,線段CQ的長度為l,求出l關(guān)于m的函數(shù)解析式,并判斷l(xiāng)是否存在最小值?若存在,請求出最小值;若不存在,請說明理由;
(3)直線AB上是否存在點(diǎn)P,使△POQ為等腰三角形?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(不與A,B重合)時,求證:OA•BQ=AP•BP;
(2)在(1)成立的條件下,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,線段CQ的長度為l,求出l關(guān)于m的函數(shù)解析式,并判斷l(xiāng)是否存在最小值?若存在,請求出最小值;若不存在,請說明理由;
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B.50°
C.65°
D.100°

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