Question

如圖，菱形ABCD中，點E、M在AD上，且CD=CM，點F為AB上的點，且∠ECF=∠B．
（1）若菱形ABCD的周長為8，且∠D=67.5°，求△MCD的面積；
（2）求證：BF=EF-EM．

Answer 1

解：（1）過點D作DH⊥MC于點H，
∵菱形ABCD的周長為8，
∴CD=2，
∵CD=CM，且∠D=67.5°，
∴∠2=∠D=67.5°，∠DCH=45°，CM=2，
在Rt△CDH中，DH=DC×sin45°=，
∴S_△MCD=CM•DH=×2×=；

（2）延長AB到N，使BN=EM，連接CN，
∵CD=CM，CD=CB，且∠ABC=∠D，
∴BC=CM，∠1=∠2=∠ABC，
∴∠1=∠5，
在△BNC和△MEC中，
，
∴△BNC≌△MEC（SAS），
∴∠4=∠3，NE=NC，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠BCM=∠ABC，
∵∠ECF=∠ABC，
∴∠3+∠BCF=∠4+∠BCF=∠ECF，
在△NCF和△ECF中，
，
∴△NCF≌△ECF（SAS），
∴FN=EF，
EF=FB+NB=FB+EM，
∴FB=EF-EM．
分析：（1）首先過點D作DH⊥MC于點H，由菱形ABCD的周長為8，且∠D=67.5°，易求得∠2=∠D=67.5°，∠DCH=45°，CM=2，然后由勾股定理求得DH的長，繼而求得△MCD的面積；
（2）首先延長AB到N，使BN=EM，連接CN，易證得△BNC≌△MEC（SAS），繼而證得△NCF≌△ECF（SAS），則可證得BF=EF-EM．
點評：此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．