Question

我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”。如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”。其中∠B=∠C。

（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形（畫出一種示意圖即可）。

（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E為邊BC上一點(diǎn)，若AB∥DE，AE∥DC，求證：

（3）在由不平行于BC的直線截ΔPBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點(diǎn)E，若EB=EC，請(qǐng)問當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，情況又將如何？寫出你的結(jié)論（不必說明理由）

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】解：（1）作圖如下：（畫出一種示意圖即可，答案不唯一）

（2）證明：∵AE∥DC，∴∠AEB=∠C。

又∵AB∥DE，∴∠B=∠DEC。∴△ABE∽△DCE。

∴。

又∵∠B=∠C，∴∠B=∠AEB。∴AB=AE。

∴。

（3）如圖，過點(diǎn)E分別作EF⊥AB，EG⊥AD，AH⊥CD，垂足分別 是F，G，H，

∵AE平分∠BAD，∴EF=EG。

又∵ED平分∠BAD，∴EG=EH�！郋F= EH。

又∵EB=EC，∴Rt△BEF≌Rt△CEF（HL）�！�3=∠4。

又∵EB=EC，∴∠1=∠2。

∴∠1＋∠3=∠2＋∠4，即∠ABC=∠DCB。

∴四邊形ABCD是 “準(zhǔn)等腰梯形”。

當(dāng)點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，有兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD的邊BC上時(shí)，四邊形ABCD仍為 “準(zhǔn)等腰梯形”；

當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD的外部時(shí)，四邊形ABCD仍為 “準(zhǔn)等腰梯形”。

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，過點(diǎn)D作BC的平行線或點(diǎn)D作PB的平行線或點(diǎn)A作PC的平行線，都能線將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形，作法不唯一。

（2）易證△ABE∽△DCE，可得，由∠B=∠C可證得AB=AE，從而得證。

（3）過點(diǎn)E分別作EF⊥AB，EG⊥AD，AH⊥CD，垂足分別 是F，G，H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，可得EF=EG= EH，從而可由HL證得 Rt△BEF≌Rt△CEF，從而∠3=∠4；由EB=EC，得∠1=∠2，根據(jù)等量加等量和相等，得∠ABC=∠DCB，即四邊形ABCD是 “準(zhǔn)等腰梯形”。

分點(diǎn)E在四邊形ABCD的邊BC上和點(diǎn)E在四邊形ABCD的外部兩種情況研究。