Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，DA⊥AB，DO及DO的延長線與⊙O分別相交于點(diǎn)E、F，EB與CF相交于點(diǎn)G．

（1）求證：DA=DC；
（2）⊙O的半徑為3，DC=4，求CG的長．

Answer 1

解：（1）證明：連接OC，

∵DC是⊙O切線，∴OC⊥DC。
∵OA⊥DA，∴∠DAO=∠DCO=90°。
在Rt△DAO和Rt△DCO中，
∵DO=DO,OA=OC,
∴Rt△DAO≌Rt△DCO（HL）。
∴DA=DC.
（2）連接BF、CE、AC，設(shè)AC與OD相交于點(diǎn)M，

由切線長定理得：DC=DA=4，DO⊥AC，
∴DO平分AC。
在Rt△DAO中，AO=3，AD=4，
由勾股定理得：DO=5。
∵由三角形面積公式得：DA•AO=DO•AM，
則AM=。
同理CM=AM=�！郃C=。
∵AB是直徑，∴∠ACB=90°。
由勾股定理得：。
∵由圓周角定理得∠GCB=∠GEF，∠GFE=∠GBC，∴△BGC∽△EGF。
∴。
在Rt△OMC中，CM=，OC=3，由勾股定理得：OM=。
在Rt△EMC中，CM=，ME=OE﹣OM=3﹣=，由勾股定理得：CE=。
在Rt△CEF中，EF=6，CE=，由勾股定理得：CF=。
∵CF=CG+GF，，∴CG=CF=×=。

試題分析：（1）連接OC，∠DAO=∠DCO=90°，根據(jù)HL證Rt△DAO≌Rt△DCO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可。
（2）連接BF、CE、AC，由切線長定理求出DC=DA=4，求出DO=5，CM、AM的長，由勾股定理求出BC長，根據(jù)△BGC∽△EGF求出，則CG=CF；利用勾股定理求出CF的長，則CG的長度可求得�！�