Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠B=30°，AD為BC邊上的中線，E為AD上一動點，設DE=nEA，連接CE并延長交AB于點F，過點F作FG∥AC交AD（或延長線）于點G．
（1）當n=1時，則

FB

FA

=

 

，

EC

EF

=

 

．
（2）如圖2，當n=

1

4

時，求證：FG²=

5

2

FE•FC；
（3）如圖3，當n=

 

時，

FB

FA

=

1

2

．

Answer 1

分析：（1）首先過點D作DH∥CF交AB于點H，由n=1時，可得E為AD的中點，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得答案；
（2）首先過點D作DH∥CF交AB于點H，設AF=x，則BH=HF=nx．由∠B=30°，即可求得AC的值，然后過點C作CM⊥AB于點M，易求得MC與MF的值，由勾股定理即可求得FC²=MF²+MC²，然后由平行線分線段成比例定理，即可證得FG²=

5

2

FE•FC；
（3）過點D作DH∥CF交AB于點H，設BH=x，則HF=x，F(xiàn)A=4x，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得n的值．

解答：解：（1）當n=1時，E為AD的中點，
過點D作DH∥CF交AB于點H，
則BH=HF=FA，CF=2DH=2×2EF=4EF，
∴

FB

FA

=2，

EC

EF

=3．

（2）過點D作DH∥CF交AB于點H，
設AF=x，則BH=HF=nx．
∵∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB=

1

2

（2n+1）x，
過點C作CM⊥AB于點M，
∵∠ACM=∠B=30°，
∴MC=ACcos∠ACM=ACcos30°=

1

2

（2n+1）x•

3

2

=

(2n+1) 3

4

x，AM=

1

2

AC=

1

2

×

1

2

（2n+1）x=

2n+1

4

x，
∴MF=AF-AM=x-

2n+1

4

x=

3-2n

4

x，
∴FC²=MF²+MC²=（

3-2n

4

x）²+（

(2n+1) 3

4

x）²=

3+4n

4

x²，
∵

FE

HD

=

AF

AH

=

x

x+nx

=

1

1+n

，
∴FE=

1

1+n

HD=

1

1+n

×

1

2

FC，
∴FE•FC=

1

2+2n

FC²，

FE

FC

=

1

2+2n

，
∴

FE

FC-FE

=

1

2+2n-1

，即

FE

EC

=

1

2n+1

，
∴當n=

1

4

時，F(xiàn)C²=

3+4n

4

x²=x²，F(xiàn)E•FC=

1

2+2n

FC²=

2

5

x²，
∴x²=

5

2

FE•FC．
∵FG∥AC，
∴

FG

AC

=

FE

EC

=

1

2n+1

，
∴FG=

1

2n+1

AC=

1

2n+1

•

2n+1

2

x=x，
∴FC²=x²=

5

2

FE•FC．

（3）過點D作DH∥CF交AB于點H，
設BH=x，則HF=x，F(xiàn)A=4x，
∴

DE

EA

=

HF

FA

=

x

4x

=

1

4

，
∴n=

1

4

．

點評：此題考查了平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意方程思想與數(shù)形結合思想的應用．