Question

【題目】（Ⅰ）如圖1，在等邊中，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn), ），連結(jié)，以為邊作等邊，并連結(jié)．求證： ．

（Ⅱ）【類比探究】

如圖2，在等邊中，若點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），其它條件不變，則是否還成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出, , 三者間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

（Ⅲ）【拓展延伸】

如圖3，在等腰中， ，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連結(jié)，以為邊作等腰，使，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析（Ⅱ）結(jié)論不成立（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）通過(guò)證明 ≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得 ，從而證得；

（Ⅱ）結(jié)論不成立，通過(guò)證明 ≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由，得 ；

（Ⅲ），設(shè)，由為的外角，可得，從而可得 ，又為的外角，可得 ，從而有，繼而推得 .

試題解析：（Ⅰ）∵， 都是等邊三角形，

∴， ， ，

∴ 即，

在和中， ，

≌ ，

∴ ，

∴；

（Ⅱ）結(jié)論不成立，

理由： ， 都是等邊三角形，

∴， ， ，

∴ 即 ，

在和中， ，

≌ ，

∴，

∴，即 ；

（Ⅲ），理由：

設(shè)，

∵，∴，

∵為的外角，

∴，

又，∴，

∴ ，

又為的外角，

∴ ，

∴，

∴，即 .