【題目】已知拋物線y=mx2+2mx+m-1和直線y=mx+m-1,且m≠0

1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);

2)試說明拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn);

3)已知點(diǎn)Tt0),且-1≤t≤1,過點(diǎn)Tx軸的垂線,與拋物線交于點(diǎn)P,與直線交于點(diǎn)Q,當(dāng)0m≤3時(shí),求線段PQ長的最大值.

【答案】1)(-1,-1);(2)見解析;(3PQ的最大值為6.

【解析】

1)化為頂點(diǎn)式即可求頂點(diǎn)坐標(biāo);

2)由y=mx2+2mx+m-1y=mx+m-1可得:mx2+2mx+m-1=mx+m-1,整理得,mxx+1=0,即可知拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn);

3)由(2)可得:拋物線與直線交于(-1,-1)和(0,m-1)兩點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,mt2+2mt+m-1),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t,mt+m-1). 故分兩種情況進(jìn)行討論:①如圖1,當(dāng)-1≤t≤0時(shí);②如圖2,當(dāng)0t≤1時(shí),求出對應(yīng)的最大值即可.

解:(1)∵y=mx2+2mx+m-1=mx+12-1,

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1).

2)由y=mx2+2mx+m-1y=mx+m-1可得:mx2+2mx+m-1=mx+m-1

mx2+mx=0,mxx+1=0

m≠0,

x1=0,x2=-1

∴拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn).

3)由(2)可得:拋物線與直線交于(-1,-1)和(0,m-1)兩點(diǎn),

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(tmt2+2mt+m-1),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(tmt+m-1).

①如圖1,當(dāng)-1≤t≤0時(shí),PQ==

m0,

當(dāng)時(shí),PQ有最大值,且最大值為

0m≤3,∴,即PQ的最大值為

②如圖2,當(dāng)0t≤1時(shí),PQ==

m0

∴當(dāng)t=1時(shí),PQ有最大值,且最大值為2m

0m≤3,

02m≤6,即PQ的最大值為6

綜上所述,PQ的最大值為6

練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下面是小蕓設(shè)計(jì)的“過圓外一點(diǎn)作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知:⊙O 及⊙O 外一點(diǎn) P

求作:⊙O 的一條切線,使這條切線經(jīng)過點(diǎn) P

作法:①連接 OP,作 OP 的垂直平分線 l,交 OP 于點(diǎn) A;

②以 A 為圓心,AO 為半徑作圓,交⊙O 于點(diǎn) M;

③作直線 PM,則直線 PM 即為⊙O 的切線.

根據(jù)小蕓設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程,

1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)

2)完成下面的證明:

證明:連接 OM,

由作圖可知,A OP 中點(diǎn),

OP 為⊙A 直徑,

∴∠ 90°( )(填推理的依據(jù))

OMPM

又∵點(diǎn) M 在⊙O 上,

PM 是⊙O 的切線.( )(填推理的依據(jù))

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,的直徑,點(diǎn)上,點(diǎn)上一動(dòng)點(diǎn),且與點(diǎn)分別位于直徑的兩側(cè),,過點(diǎn)的延長線于點(diǎn);

1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),恰好是的切線?畫出圖形并加以說明.

2)若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直徑對稱,且,畫出圖形求此時(shí)的長.

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【題目】綜合與實(shí)踐

問題情境

在綜合與實(shí)踐課上,同學(xué)們以三角形的折疊為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

操作發(fā)現(xiàn)

楊輝小組的同學(xué)用一張鈍角三角形紙片為鈍角,進(jìn)行了如下操作:

第一步:如圖1,折出的角平分線;

第二步:如圖2,展平紙片,再次折疊該三角形紙片,使預(yù)點(diǎn)與點(diǎn)重合,拆痕分別與,交于點(diǎn),

第三步:如圖3,再次展平紙片,連接,,可得四邊形

1)在圖4中利用尺規(guī)作出折痕,

(要求:保留作圖痕跡,不寫作法)

實(shí)踐探究

2)試判斷圖3中四邊形的形狀,并寫出證明過程;

深入探究

3陳景潤小組的同學(xué)突發(fā)奇想,在楊輝小組同學(xué)操作的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問題:在圖3中,連接,分別交于點(diǎn),交于點(diǎn),若,利用相似三角形的知識可以求出的長.請你寫出求解過程.

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【題目】如圖所示,以RtABC的斜邊BC為一邊在ABC的同側(cè)作正方形BCEF,設(shè)正方形的中心為O,連接AO,如果AB=4,AO=6,那么AC=_____

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【題目】如圖,以邊上一點(diǎn)為圓心的圓,經(jīng)過、兩點(diǎn),且與邊交于點(diǎn),的下半圓弧的中點(diǎn),連接,若

1)求證:的切線;

2)若,,求的半徑.

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【題目】如圖所示,在等腰△ABC中,ABAC10cmBC16cm.點(diǎn)D由點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E由點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),它們的速度均為1cm/s.連接DE,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts)(0t10),解答下列問題:

1)當(dāng)t為何值時(shí),△BDE的面積為7.5cm2;

2)在點(diǎn)D,E的運(yùn)動(dòng)中,是否存在時(shí)間t,使得△BDE與△ABC相似?若存在,請求出對應(yīng)的時(shí)間t;若不存在,請說明理由.

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n=24,則第2019次“F”運(yùn)算的結(jié)果是(

A.4B.1C.2018D.42018

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