Question

【題目】如圖，△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．

（1）判斷OE與OF的大小關(guān)系？并說明理由？

（2）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE會(huì)是菱形嗎？若是，請(qǐng)證明；若不是，則說明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說出你的理由．

Answer 1

【答案】（1）OE=OF，證明見解析；（2）四邊形BCFE不可能是菱形，理由見解析；（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，理由見解析.

【解析】分析：（1）OE=OF，利用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義證得∠2=∠3，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得OE=OC，同理可得OC=OF，即可得OE=OF；（2）四邊形BCFE不可能是菱形，若四邊形BCFE為菱形，則BF⊥EC，而由（1）可知FC⊥EC，這與在同一平面內(nèi)過同一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾；（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，先證明四邊形AECF為平行四邊形，再證明∠ECF=90°，根據(jù)有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形即可證得結(jié)論．

詳解：

（1）OE=OF．

證明如下：

∵CE是∠ACB的平分線，

∴∠1=∠2．

∵MN∥BC，

∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．

∴OE=OC．

同理可證OC=OF．

∴OE=OF．

（2）四邊形BCFE不可能是菱形，若四邊形BCFE為菱形，則BF⊥EC，

而由（1）可知FC⊥EC，在平面內(nèi)過同一點(diǎn)F不可能有兩條直線同垂直于一條直線．

（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．

理由如下：

∵O為AC中點(diǎn)，

∴OA=OC，

∵由（1）知OE=OF，

∴四邊形AECF為平行四邊形；

∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，

∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，

∴AECF為矩形