Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點.過點A作AF∥BC交于BE的延長線于點F.

（1）求證：△AEF≌△DEB；

（2）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）10.

【解析】

（1）根據AAS證△AFE≌△DBE；

（3）由直角三角形ABC與菱形有相同的高，根據等積變形求出這個高，代入菱形面積公式可求出結論．

（1）證明：①∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，

∴AE=DE，BD=CD，

在△AFE和△DBE中，

∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE=DE

∴△AFE≌△DBE（AAS）；

（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF=DB．

∵DB=DC，

∴AF=CD．

∵AF∥BC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，

∴AD=DC=1212BC，

∴四邊形ADCF是菱形；

連接DF，

∵AF∥BD，AF=BD，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，

∴DF=AB=5，

∵四邊形ADCF是菱形，

∴S菱形ADCF==×4×5=10．