Question

在平行四邊形ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于E、F，AE、BF相交于點M．
（1）求證：AE⊥BF；
（2）求證：DF=CE．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為AE，BF分別是∠DAB，∠ABC的角平分線，那么就有∠MAB=∠DAB，∠MBA=∠ABC，而∠DAB與∠ABC是同旁內角互補，所以，能得到∠MAB+∠MBA=90°，即得證；
（2）要證明兩條線段相等．利用平行四邊形的對邊平行，以及角平分線的性質，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=BC=AD=DE，再利用等量減等量差相等，可證．
解答：證明：（1）∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF，
∴2∠BAE+2∠ABF=180°．
即∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AMB=90°．
∴AE⊥BF；
（2）∵在?ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD，
同理可得，CF=BC，
又∵在?ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF，
∴DE-EF=CF-EF，
即DF=CE．
點評：本題考查了角平分線的性質，平行四邊形的性質以及等量減等量差相等等知識．