Question

下列各圖中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA中點(diǎn)，
（1）如圖1，求證：四邊形EFGH是平行四邊形
（2）如圖2，當(dāng)AC和BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH是矩形（不必證明）如圖3，當(dāng)AC和BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH是菱形（不必證明）
（3）如圖4，當(dāng)AC和BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH是正方形，

Answer 1

（1）證明：連接BD、AC，兩線交于O，
∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA中點(diǎn)，
∴EH∥BD，EH=BD，∥BD，F(xiàn)G=BD，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）答案為：垂直，相等．

（3）答：垂直且相等，
證明：∵EH∥BD，AC⊥BD，
∴EH⊥AC，
∴∠EMC=90°，
∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA中點(diǎn)，
∴EF∥AC，EF=AC，
∴∠MEF=180°-90°=90°，
∵AC=BD，EH=BD，
∴EF=EH，
∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴平行四邊形EFGH是正方形．
故答案為：垂直且相等．
分析：（1）根據(jù)三角形的中位線定理得出EH∥BD，EH=BD，∥BD，F(xiàn)G=BD，推出EH=FG，EH∥FG，即可得到平行四邊形EFGH；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EMO=∠AOB=∠HEF=90°，即可得出答案；根據(jù)EH=BD和EF=AC，即可得出答案；
（3）由平行四邊形EFGH、∠EMO=∠AOB=∠HEF=90°和EH=EF即可得到正方形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)平行線的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行公理及推論，三角形的中位線等知識(shí)點(diǎn)的連接和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行證明是證此題的關(guān)鍵．題型較好，綜合性強(qiáng)．