Question

17．如圖1，已知拋物線y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3與x軸交于A和B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D．
（1）求出點A，B，D的坐標；
（2）如圖1，若線段OB在x軸上移動，且點O，B移動后的對應點為O′，B′．首尾順次連接點O′、B′、D、C構成四邊形O′B′DC，當四邊形O′B′DC的周長有最小值時，在第四象限找一點P，使得△PB′D的面積最大？并求出此時P點的坐標．
（3）如圖2，若點M是拋物線上一點，點N在y軸上，連接CM、MN．當△CMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，直接寫出點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）令y=0，解方程即可求出點A、B的坐標，利用配方法或頂點坐標公式可得頂點D的坐標；
（2）作點C（0，-3）關于x軸的對稱點C′（0，3），將點C′（0，3）向右平移4個單位得到點C″（4，3），連接DC″，交x軸于點B′，將點B′向左平移4個單位得到點O′，連接CO′，CO″，則四邊形O′B′C′C″為平行四邊形，此時四邊形O′B′DC周長取最小值．再根據兩點間的距離公式求出CD、DC″的長度，即可得出結論；
（3）按點M的位置不同分兩種情況考慮：①點M在直線y=x-3上，；②點M在直線y=-x-3上，聯(lián)立直線與拋物線解析式求出點M的坐標，結合點C的坐標以及等腰直角三角形的性質即可得出點N的坐標．綜合兩種情況即可得出結論．

解答 解：（1）令y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3中y=0，則 $\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，
∴A（-2，0），B（4，0）．
∵y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=$\frac{3}{8}$（x²-2x）-3=$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$，
∴D（1，-$\frac{27}{8}$）．

（2）令y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3中x=0，則y=-3，
∴C（0，-3）．
D（1，-$\frac{27}{8}$），O′B′=OB=4．
如圖1，作點C（0，-3）關于x軸的對稱點C′（0，3），將點C′（0，3）向右平移4個單位得到點C″（4，3），連接DC″，交x軸于點B′，將點B′向左平移4個單位得到點O′，連接CO′，CO″，則四邊形O′B′C′C″為平行四邊形，此時四邊形O′B′DC周長取最小值．

此時C_{四邊形O′B′DC}=CD+O′B′+CO′+DB′=CD+OB′+DC″．
∵O′B′=4，CD=$\sqrt{（1-0）^{2}+（-3+\frac{27}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{8}$，C″D=$\sqrt{（4-1）^{2}+（3+\frac{27}{8}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{353}}{8}$，
∴四邊形O′B′DC的周長最小值為4+$\frac{\sqrt{73}}{8}$+$\frac{3\sqrt{353}}{8}$．
設P（m，$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m-3），作DH⊥x軸于H，連接PH．易知H（1，0），B′（$\frac{44}{17}$，0）
S_△PDB′=S_△PDH+S_△PHB′-S_△DHB′=$\frac{1}{2}$•$\frac{27}{8}$（m-1）+$\frac{1}{2}$•$\frac{27}{17}$•（-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{3}{4}$m+3）-$\frac{1}{2}$•$\frac{27}{8}$•$\frac{27}{17}$
=$\frac{27}{272}$（-3m²+23m-20），
∴m=$\frac{23}{6}$時，△PDB′的面積最大，
此時P（$\frac{23}{6}$，-$\frac{37}{96}$）．

（3）△CMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形分兩種情況（如圖2）：

①過點C作直線y=x-3交拋物線于點M，
聯(lián)立直線CM和拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=\frac{3}{8}{x}^{2}-\frac{3}{4}x-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{14}{3}}\\{y=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴M（ $\frac{14}{3}$，$\frac{5}{3}$）．
∵△CMN為等腰直角三角形，C（0，-3），
∴點N的坐標為（0，$\frac{5}{3}$）或（0，$\frac{19}{3}$）；
②過點C作直線y=-x-3交拋物線于點M，
聯(lián)立直線CM和拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-3}\\{y=\frac{3}{8}{x}^{2}-\frac{3}{4}x-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=-\frac{7}{3}}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴M（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{7}{3}$）．
∵△CMN為等腰直角三角形，C（0，-3），
∴點N的坐標為（0，-$\frac{7}{3}$）或（0，-$\frac{5}{3}$）．
綜上可知：當△CMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，點N的坐標為（0，$\frac{5}{3}$）、（0，$\frac{19}{3}$）、（0，-$\frac{7}{3}$）或（0，-$\frac{5}{3}$）．

點評 本題考查二次函數綜合題、一元二次方程、等腰直角三角形的性質以及二元二次方程組等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會利用對稱解決最短問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．