Question

將數(shù)字1，2，5，4，6填入圖中的小圓圈中．從1開始順時針依次數(shù)兩個數(shù)字可產(chǎn)生5個兩位數(shù)12，25，54，46和61．從1開始逆時針依次數(shù)兩個 數(shù)字可產(chǎn)生另5個兩位數(shù)16，64，45，52和21．
（1）驗證：12²+25²+54²+46²+61²=16²+64²+45²+52²+21²．
（2）對任意5個不等的非零數(shù)字a，b，c，d，e，可以生成10個兩位數(shù)ab，bc，cd，de，ea和ae，ed，dc，cb，ba，請證明：ab²+bc²+cd²+de²+ea²=ae²+ed²+dc²+cb²+ba²．
（3）寫出10個彼此不等的兩位數(shù)，使得其中5個兩位數(shù)的平方和等于其余5個兩位數(shù)的平方和．

Answer 1

分析：（1）分別計算12²+25²+54²+46²+61²，16²+64²+45²+52²+21²，再比較結(jié)果；
（2）將兩位數(shù)

.

ab

表示為10a+b，其它數(shù)依此類推，利用完全平方公式分別計算等式左右兩邊，并進行比較，證明結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，寫出其中5個兩位數(shù)，再將這5個兩位數(shù)分別交換個位，十位的位置，得出另外5個數(shù)即可．

解答：解：（1）∵12²+25²+54²+46²+61²=144+625+2916+2116+3721=9522，
16²+64²+45²+52²+21²=256+4096+2025+2704+441=9522，
∴12²+25²+54²+46²+61²=16²+64²+45²+52²+21²；

（2）證明：∵ab²+bc²+cd²+de²+ea²=（10a+b）²+（10b+c）²+（10c+d）²+（10d+e）²+（10e+a）²
=101（a²+1b²+c²+d²+e²）+20（ab+bc+cd+de+ea），
ae²+ed²+dc²+cb²+ba²=（10a+e）²+（10e+d）²+（10d+c）²+（10c+b）²+（10b+a）²
=101（a²+1b²+c²+d²+e²）+20（ab+bc+cd+de+ea），
∴ab²+bc²+cd²+de²+ea²=ae²+ed²+dc²+cb²+ba²；

（3）滿足題意的10個數(shù)為：23，34，45，56，67，76，65，54，43，32．

點評：本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律．關(guān)鍵是根據(jù)題意，由特殊到一般，得出規(guī)律，再用完全平方公式證明結(jié)論．