Question

（2012•葫蘆島二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸向右以每秒2個單位長的速度運(yùn)動t（t＞0）秒，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)P，頂點(diǎn)為M．矩形ABCD的一邊CD在x軸上，點(diǎn)C與原點(diǎn)重合，CD=4，BC=9，在點(diǎn)P運(yùn)動的同時，矩形ABCD沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運(yùn)動．
（1）求出拋物線的解析式（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）若（1）中的拋物線經(jīng)過矩形區(qū)域ABCD（含邊界）時，求出t的取值范圍；
（3）當(dāng)t=4秒時，過線段MP上一動點(diǎn)F作y軸的平行線交拋物線于E，求線段EF的最大值．

Answer 1

分析：（1）分別將點(diǎn)（0，0），（2t，0）代入二次函數(shù)解析式，即可得出拋物線的解析式；
（2）尋找兩個臨界點(diǎn)，①剛開始的時候，②拋物線經(jīng)過點(diǎn)A的時候，分別求出此時t的值，繼而可得出t的取值范圍；
（3）先確定函數(shù)解析式，然后得出直線MP的解析式，設(shè)出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，則EF之間的距離可表示為二次函數(shù)的形式，然后運(yùn)用配方法求最值即可．

解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=-x²+bx+c中，得c=0，
再把x=2t，y=0代入y=-x²+bx中，得b=2t
故拋物線的解析式為y=-x²+2tx．

（2）∵t＞0，
∴在點(diǎn)P和矩形ABCD開始運(yùn)動時就經(jīng)過矩形區(qū)域ABCD，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時，將A（t+4，9）代入y=-x²+2tx中，得-（t+4）²+2t（t+4）=9，
整理，解方程得：t₁=-5（舍去），t₂=5，
即可得當(dāng)t＞5時，拋物線不在經(jīng)過矩形區(qū)域ABCD，
綜上可得t的范圍為：0＜t≤5，

（3）如圖，當(dāng)t=4秒時，此時點(diǎn)D和點(diǎn)P重合，拋物線的解析式為y=-x²+8x．
設(shè)直線MP的解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)M（4，16）和點(diǎn)P（8，0）在直線MP上，
∴

4k+b=16 8k+b=0

，
得

k=-4 b=32

，
∴直線MP的解析式為y=-4x+32；
設(shè)F（m，-4m+32），則E（m，-m²+8m），
∵點(diǎn)F在線段MP上運(yùn)動，
∴4≤m≤8，
∴EF=-m²+8m-（-4m+32）=-m²+12m-32，
∴當(dāng)m=-

b

2a

=6時，EF=

4ac-b2

4a

=

4×(-1)×(-32)-122

4×(-1)

=

16

4

=4，
∴線段EF的最大值是4．

點(diǎn)評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解答第二問的時候關(guān)鍵是求出兩個邊界點(diǎn)，第三問的解答中要求出直線MP的解析式，利用二次函數(shù)的最值法求解．