Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時(shí)，點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上，此時(shí)作P′E⊥AC于點(diǎn)E．

（1）求證：∠CBP=∠ABP；

（2）求證：AE=CP；

（3）當(dāng)，BP′=5時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到，

∴AP=AP′，

∴∠APP′=∠AP′P，

∵∠C=90°，AP′⊥AB，

∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，

又∵∠BPC=∠APP′（對(duì)頂角相等），

∴∠CBP=∠ABP；

（2）證明：如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，

∴CP=DP，

∵P′E⊥AC，

∴∠EAP′+∠AP′E=90°，

又∵∠PAD+∠EAP′=90°，

∴∠PAD=∠AP′E，

在△APD和△P′AE中，，

∴△APD≌△P′AE（AAS），

∴AE=DP，

∴AE=CP；

（3）解：∵=，

∴設(shè)CP=3k，PE=2k，

則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，

在Rt△AEP′中，P′E==4k，

∵∠C=90°，P′E⊥AC，

∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°，

∵∠BPC=∠EPP′（對(duì)頂角相等），

∴∠CBP=∠P′PE，

又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，

∴△ABP′∽△EPP′，

∴=，

即=，

解得P′A=AB，

在Rt△ABP′中，AB²+P′A²=BP′²，

即AB²+AB²=（5）²，

解得AB=10．