【題目】已知:如圖,一次函數(shù)y=-2x與二次函數(shù)y=ax2+2ax+c的圖像交于A、B兩點(點A在點B的右側(cè)),與其對稱軸交于點C.
(1)求點C的坐標;
(2)設二次函數(shù)圖像的頂點為D,點C與點D關于 x軸對稱,且△ACD的面積等于2.
① 求二次函數(shù)的解析式;
② 在該二次函數(shù)圖像的對稱軸上求一點P(寫出其坐標),使△PBC與△ACD相似.
【答案】(1)C點的坐標為(-1,2);
(2)①y=2x2+4x; ②點P的坐標為(-1, 10),(-1, )
【解析】(1)由拋物線的對稱軸方程可知x=-1,將x=-1代入y=-2x得:y=2,從而可知點C的坐標為(-1,2);
(2)①根據(jù)關于x軸對稱的坐標特點可知D(-1,-2),從而得到CD=4,然后三角形的面積公式可求得CD邊上的高,故此可知得到點A的坐標為(0,0),設拋物線的解析式y(tǒng)=a(x+1)2-2過點A,即可得:a=2,從而得出拋物線的解析式;②利用兩個三角形相似求出P點的坐標.
解:(1)∵y=ax2+2ax+c=a(x+1)2+c-a,∴它的對稱軸為x=-1.
又∵一次函數(shù)y=-2x與對稱軸交于點C,∴y=2.
∴C點的坐標為(-1,2).
(2)①∵點C與點D 關于x軸對稱,∴點D的坐標為(-1,-2).
∴CD=4,∵△ACD的面積等于2.
∴點A到CD的距離為1,C點與原點重合,點A的坐標為(0,0)
設二次函數(shù)為y=a(x+1)2-2過點A,則a=2,
∴y=2x2+4x.
②交點B的坐標為(-3,6).
當△PBD∽△CAD,點P的坐標為(-1, 10),
當△PBD∽△ACD,點P的坐標為(-1,),
∴點P的坐標為(-1, 10),(-1,).
“點睛”本題主要考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)的綜合應用,解答本題主要應用了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)、關于x軸對稱點的坐標特點、利用相似三角形的性質(zhì)求出點P的坐標是解題的關鍵.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,BC=2AB,對角線相交于O,過C點作CE⊥BD交BD于E點,H為BC中點,連接AH交BD于G點,交EC的延長線于F點,下列5個結(jié)論:①EH=AB;②∠ABG=∠HEC;③△ABG≌△HEC;④S△GAD=S四邊形GHCE , ⑤CF=BD.正確的有( )個.
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】有一筐橘子,如果每3個一堆,正好分完;如果每5個一堆,最后剩3個;如果每7個一堆,最后也剩3個,這筐橘子的總數(shù)最少是________個.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,M為斜邊AB上一動點,過M作MD⊥AC,過M作ME⊥CB于點E,則線段DE的最小值為 .
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【題目】小明向一些好友發(fā)送了一條新年問候的短信,獲得信息的人也按小明發(fā)送的人數(shù)再加1人向外轉(zhuǎn)發(fā),經(jīng)過兩輪短信的發(fā)送,共有35人次手機上收到該短信,則小明發(fā)送短信給了__________個好友
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,AB為⊙O的直徑,AC=6cm,BC=8cm.
(1)求⊙O的半徑;
(2)請用尺規(guī)作圖作出點P,使得點P在優(yōu)弧CAB上時,△PBC的面積最大,請保留作圖痕跡,并求出△PBC面積的最大值.
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