Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊AB在x軸上，直角頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，已知點(diǎn)A（-1，0）．

   （1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)：B（   ，   ），C（   ，   ）；

（2）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式；

   （3）現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把頂點(diǎn)E放在線(xiàn)段AB上（點(diǎn)E是不與A，B兩點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)），并使ED所在直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．此時(shí)，EF所在直線(xiàn)與（2）中的拋物線(xiàn)交于第一象限的點(diǎn)M．當(dāng)AE=2時(shí)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P使△PEM是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

解：（1）B（3，0），C（0，）；

（2）∵點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），

　　 ∴可設(shè)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為，

　　 ∵點(diǎn)C（0，）也在此拋物線(xiàn)上，

　　 ∴， 解得：，

　　 ∴此拋物線(xiàn)的解析式為即．

　 （3）存在．

∵AE=2，

∴OE=1，

∴E（1，0），此時(shí)，△CAE為等邊三角形．

∴∠AEC=∠A=60°．

又∵∠CEM=60°，

∴∠MEB=60°．
∴點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)．

∵C（0，），

∴M（2，）．

過(guò)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N（2，0），

∴MN=．

∴ EN=1．

∴．

若△PEM為等腰三角形，則：

�。┊�(dāng)EP=EM時(shí)，∵EM=2，且點(diǎn)P在直線(xiàn)x=1上，∴P（1，2）或P（1，-2）．

ⅱ）當(dāng)EM=PM時(shí)，點(diǎn)M在EP的垂直平分線(xiàn)上，∴P（1，）．

ⅲ）當(dāng)PE=PM時(shí)，點(diǎn)P是線(xiàn)段EM的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)x=1的交點(diǎn)，∴P（1，）．

∴綜上所述，存在P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（1，-2）或（1，）或（1，）時(shí)，△EPM為等腰三角形．

九年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案 第4頁(yè)（共4頁(yè)）