Question

如圖，Rt△AOB是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的三角形紙片，點O與原點重合，點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上，，∠OAB=30°，將Rt△AOB折疊，使OB邊落在AB邊上，點O與點D重合，折痕為BE．
（1）求點E和點D的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過O、D、A三點的二次函數(shù)圖象的解析式．

Answer 1

解：（1）過點D作DF⊥OA，垂足為F，因為Rt△AOB沿BE折疊時，OB邊落在AB邊上，點O與點D重合，
所以，∠OBE=∠DBE，OB=DB．
由Rt△AOB中，∠OAB=30°，
得∠ABO=60°，
且OA=OBcot30°=6，
得點A（6，0）．
在Rt△AOB中，由∠OBE=30°，得OE=2，得點E（2，0）；
Rt△AOB中，由∠OAB=30°得AB=2OB=2DB，
所以D是AB的中點，
得DF==，OF==3，
得點D（3，）．

（2）設(shè)經(jīng)過O、D、A三點的二次函數(shù)圖象的解析式為y=ax²+bx．
把A（6，0），D（3，））入y=ax²+bx，
得．
解得．
所以，經(jīng)過O、D、A三點的二次函數(shù)圖象的解析式為y=x²+x．
分析：（1）過點D作DF⊥OA，垂足為F，由圖形折疊的性質(zhì)可知△BOE≌△BDE，在直角三角形OAB中，OB=2，∠OAB=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可計算出A，B兩點的坐標(biāo)，根據(jù)三角形全等及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可知∠BEO=60°，BD=AB，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義及三角形中位線定理即可求出D、E兩點的坐標(biāo)．
（2）由（1）可知A、D兩點的坐標(biāo)，O為原點，根據(jù)此特點設(shè)出二次函數(shù)的解析式，把A、D兩點分別代入即可求出未知數(shù)的值，進而求出其解析式．
點評：本題綜合考查了圖形折疊及直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，難度不大，但有一定的綜合性，是一道好題．