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已知:如圖,AF平分∠BAC,BC⊥AF于點E,點D在AF上,ED=EA,點P在CF上,連接PB交AF于點M.若∠BAC=2∠MPC,請你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關系,并說明理由.

解:∠F=∠MCD,
理由是:∵AF平分∠BAC,BC⊥AF,
∴∠CAE=∠BAE,∠AEC=∠AEB=90°,
在△ACE和△ABE中

∴△ACE≌△ABE(ASA)
∴AB=AC,
∵∠CAE=∠CDE
∴AM是BC的垂直平分線,
∴CM=BM,CE=BE,
∴∠CMA=∠BMA,
∵AE=ED,CE⊥AD,
∴AC=CD,
∴∠CAD=∠CDA,
∵∠BAC=2∠MPC,
又∵∠BAC=2∠CAD,
∴∠MPC=∠CAD,
∴∠MPC=∠CDA,
∴∠MPF=∠CDM,
∴∠MPF=∠CDM(等角的補角相等),
∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°,∠F+∠MPF+∠PMF=180°,
又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD,
∴∠MCD=∠F.
分析:根據(jù)全等三角形的性質和判定和線段垂直平分線性質求出AB=AC=CD,推出∠CDA=∠CAD=∠CPM,求出∠MPF=∠CDM,∠PMF=∠BMA=∠CMD,在△DCM和△PMF中根據(jù)三角形的內角和定理求出即可.
點評:本題考查了全等三角形的性質和判定,線段垂直平分線性質,三角形的內角和定理,等腰三角形的性質和判定等知識點的綜合運用,主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力,題目比較典型,但是一道比較難的題目.
練習冊系列答案
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已知:如圖,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足為E,點D與點A關于點E對稱,PB分別精英家教網與線段CF,AF相交于P,M.
(1)求證:AB=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,請你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關系,并說明理由.

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已知:如圖,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足為E,點D與點A關于點E對稱,PB分別與線段CF,AF相交于P,M.
(1)求證:AB=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,請你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關系,并說明理由.

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