Question

如圖，在⊙S中，AB是直徑，AC、BC是弦，D是⊙S外一點(diǎn)，且DC與⊙S相切于點(diǎn)C，連接DS，DB，其中DS交BC于E，交⊙S于F，F(xiàn)為弧BC的中點(diǎn)．
（1）求證：DB=DC；
（2）若AB=10，AC=6，P是線段DS上的動點(diǎn)，設(shè)DP長為x，四邊形ACDP面積為y．
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
②求△PAC周長的最小值，并確定這時x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)垂徑定理的推論得出SF⊥BC，且E為BC的中點(diǎn)，利用垂直平分線的性質(zhì)即可即可；
（2）①當(dāng)DP≠AC時，即x≠6時，四邊形ACDP為梯形以及當(dāng)DP=AC時，即x=6時，四邊形ACDP為平行四邊形，分別求出即可；
②首先利用當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時，PA+PB最�。ǘ蹋�，得出最小值即可，再利用Rt△DCS∽Rt△CES，得出CS²=SE×SD，進(jìn)而求出x的值即可．
解答：解：（1）∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，SF為⊙S的半徑，
∴SF⊥BC，且E為BC的中點(diǎn)，
∴DS是BC的中垂線，
∴DB=DC．

（2）①∵AB為⊙S的直徑，
∴AC⊥BC，
∴DS∥AC，且BC=，CE=BC=4，
當(dāng)DP≠AC時，即x≠6時，四邊形ACDP為梯形，
此時，；
當(dāng)DP=AC時，即x=6時，四邊形ACDP為平行四邊形，
此時，y=AC•CE=24．
②∵DS是BC的中垂線，∴PC=PB，
∵△PAC的周長=AC+PA+PC=6+PA+PC=6+PA+PB，
當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時，PA+PB最小（短），
即點(diǎn)P與點(diǎn)S重合時，△PAC的周長最小，最小值=6+10=16，
此時x=DS，連接CS，
∵DC與⊙S相切于點(diǎn)C，∴DC⊥OC，
∴SE=，
∵Rt△DCS∽Rt△CES，
∴CS²=SE×SD，
∴DS=，
∴當(dāng)x=時，△PAC的周長最小，最小值=6+10=16．
點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和梯形的性質(zhì)等知識，利用相似三角形的判定得出Rt△DCS∽Rt△CES是解題關(guān)鍵．