Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對(duì)角線AC=12，tan∠ACO=，
（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）把矩形沿直線DE對(duì)折使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，DE與AC相交于點(diǎn)F，求直線DE的解析式；
（3）若點(diǎn)M在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以O(shè)、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函數(shù)求得OA以及OC的長度，則C、B的坐標(biāo)即可得到；
（2）直線DE是AC的中垂線，利用待定系數(shù)法以及互相垂直的兩直線的關(guān)系即可求得DE的解析式；
（3）分當(dāng)FM是菱形的邊和當(dāng)OF是對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論．利用三角函數(shù)即可求得N的坐標(biāo)．
解答：解：（1）在直角△OAC中，tan∠ACO==，
∴設(shè)OA=x，則OC=3x，
根據(jù)勾股定理得：（3x）²+（x）²=AC²，
即9x²+3x²=144，
解得：x=2．
故C的坐標(biāo)是：（6，0），B的坐標(biāo)是（6，6）；

（2）直線AC的斜率是：-=-，
則直線DE的斜率是：．
F是AC的中點(diǎn)，則F的坐標(biāo)是（3，3），設(shè)直線DE的解析式是y=x+b，
則9+b=3，解得：b=-6，
則直線DE的解析式是：y=x-6；

（3）OF=AC=6，
∵直線DE的斜率是：．
∴DE與x軸夾角是60°，
當(dāng)FM是菱形的邊時(shí)（如圖1），ON∥FM，
則∠NOC=60°或120°．
當(dāng)∠NOC=60°時(shí)，過N作NG⊥y軸，則NG=ON•sin30°=6×=3，
OG=ON•cos30°=6×=3，則N的坐標(biāo)是（3，3）；
當(dāng)∠NOC=120°時(shí)，與當(dāng)∠NOC=60°時(shí)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則坐標(biāo)是（-3，-3）；
當(dāng)OF是對(duì)角線時(shí)（如圖2），MN關(guān)于OF對(duì)稱．
∵F的坐標(biāo)是（3，3），
∴∠FOD=∠NOF=30°，
在直角△ONH中，OH=OF=3，ON===2．
作NL⊥y軸于點(diǎn)L．
在直角△ONL中，∠NOL=30°，
則NL=ON=，
OL=ON•cos30°=2×=3．
故N的坐標(biāo)是（，3）．
當(dāng)DE與y軸的交點(diǎn)時(shí)M，這個(gè)時(shí)候N在第四象限，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：（3，-3）．
則N的坐標(biāo)是：（3，-3）或（3，3）或（-3，-3）或（，3）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)和幾何問題的綜合應(yīng)用，本題中對(duì)于N的位置的討論是關(guān)鍵．