Question

15．已知拋物線(xiàn)y=a（x²-cx-2c²）（a＞0，c＞0）交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．
（1）探究與猜想：
①探究：
取A（-1，0），則點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，0），a=1，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2）；取A（-2，0），若a=1，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）；
②猜想：
OB=2OA，當(dāng)ac=1時(shí)，OC=OB，請(qǐng)取點(diǎn)A（-c，0）驗(yàn)證你的猜想．
（2）如圖，點(diǎn)R（0，n）在y軸負(fù)半軸上，直線(xiàn)RB交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)D，直線(xiàn)RA交拋物線(xiàn)于E，若DR=DB，求點(diǎn)E的縱坐標(biāo)m與n的關(guān)系式．

Answer 1

分析 先確定出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（1）①將A的坐標(biāo)代入，求出c即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，把a(bǔ)，c代入點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；
②直接求出OA，OB，找出OA，OB的關(guān)系，用OB=OC建立方程求出ac即可；
（3）利用DR=DB得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，而點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上，即可得出R的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線(xiàn)AR的解析式即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可．

解答 解：∵拋物線(xiàn)y=a（x²-cx-2c²）=a（x+c）（x-2c），
∴A（-c，0），B（2c，0），C（0，-2ac²），
（1）①當(dāng)A（-1，0）時(shí)，∴-c=-1，
∴c=1，
∴2c=2，
∴B（2，0），
∵a=1，
∴-2ac²=-2×1×1=-2，
∴C（0，-2）；
當(dāng)A（-2，0）時(shí)，∴-c=-2，
∴c=2，
∴2c=4，
∴B（4，0），
故答案為：（2，0），（0，-2），（4，0）；

②OB=2OA，ac=1時(shí)，OB=OC，
理由：∵A（-c，0），B（2c，0），
∴OA=c，OB=2c，
∴OB=2OA．
∵B（2c，0），C（0，-2ac²），
∴OB=2c，OC=2ac²，
∵OB=OC，
∴2c=2ac²，
∴ac=1，
故答案為：2，1；

（2）∵DR=DB，R（0，n），B（2c，0），
∴D（c，$\frac{1}{2}$n），
∵點(diǎn)D在拋物線(xiàn)y=a（x²-cx-2c²）上，
∴a（c²-c²-2c²）=$\frac{1}{2}$n，
∴n=-4ac²，
∴R（0，-4ac²），
∵A（-c，0），
∴直線(xiàn)AR的解析式為y=-4acx-4ac²①，
∵點(diǎn)E在拋物線(xiàn)y=a（x+c）（x-2c）②上，
聯(lián)立①②得，E（-2c，4ac²），
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)m=4ac²=-1×（-4ac²）=-n．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了因式分解，待定系數(shù)法，求直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，解本題的關(guān)鍵是把拋物線(xiàn)的解析式y(tǒng)=a（x²-cx-2c²）=a（x+c）（x-2c），利用了方程的思想求解問(wèn)題，是一道簡(jiǎn)單的題目．