如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,將三角板中一個(gè)30°角的頂點(diǎn)D放在AB邊上移動(dòng),使這個(gè)30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC相交于點(diǎn)E、F,且使DE始終與AB垂直.
(1)畫出符合條件的圖形.連接EF后,寫出與△ABC一定相似的三角形;
(2)設(shè)AD=x,CF=y.求y與x之間函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
(3)如果△CEF與△DEF相似,求AD的長.
分析:(1)根據(jù)題意畫出圖形,根據(jù)圖形證出∠C=∠EDA=90°,∠A=∠A,即可推出兩三角形相似;
(2)求出等邊三角形BDF,求出BF=BD=1-y,又因?yàn)锽D=AB-x=2-x,代入求出即可,根據(jù)y=x-1≥0得出x≥1,根據(jù)一定與線段AC、BC相交,得出AD最大到M處,求出AM即可得出答案;
(3)分為兩種情況:①E為直角頂點(diǎn)時(shí),求出AE,求出CE=
3
CF=
3
(x-1),根據(jù)AE+CE=
3
得出關(guān)于x的方程,求出即可;②F為直角頂點(diǎn)時(shí),求出CE=
3
3
CF,推出方程
2
3
3
x+
3
3
(x-1)=
3
,求出x即可.
解答:解:(1)如圖所示:
與△ABC一定相似的三角形是△AED;

(2)在Rt△ABC中,
∵∠C=90°,∠A=30°,BC=1,
∴AB=2,AC=
3
,
∵DE⊥AB,∠EDF=30°,
∴∠FDB=∠B=60°,
∴△BDF是等邊三角形,
∴BF=BD,
∴CF=1-BF=1-(2-AD)=AD-1,
∴y=x-1,
∵x-1≥0,
∴x≥1,
∵將三角板放在三角形ABC上時(shí),一定與邊AC、BC相交,
∴過C作CM⊥AB于M,最后D只能到M點(diǎn),
此時(shí)BM=
1
2
BC=
1
2
,
∴x此時(shí)是2-
1
2
=
3
2
,
∴函數(shù)的定義域(即x的取值范圍)是:1≤x≤
3
2
;

(3)在Rt△ADE中,
∵∠ADE=90°,∠A=30°,AD=x,
∴AE=
2
3
3
x
,
當(dāng)△CEF∽△EDF時(shí)(如圖1),
∵∠CEF=∠EDF=30°,
∴CE=
3
CF,
2
3
3
x+
3
(x-1)=
3
,
解得:x=
6
5
,
即AD=
6
5
;
當(dāng)△CEF∽△FED時(shí)(如圖2),
∵∠CFE=∠FDE=30°,
∴CE=
3
3
CF,
2
3
3
x+
3
3
(x-1)=
3
,
解得:x=
4
3
,
即AD=
4
3

綜上所述:AD=
6
5
或AD=
4
3
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)有:含30度角的直角三角形,勾股定理,相似三角形的判定和性質(zhì),一次函數(shù),直角三角形性質(zhì),函數(shù)的定義域等,主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和推理能力,題目比較好,有一定的難度.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•莆田質(zhì)檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn),以AE為直徑的⊙O過點(diǎn)D,且交AC于點(diǎn)F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若CD=6,AC=8,求AE.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,AD和BD分別是∠BAC和∠ABC的平分線,它們相交于點(diǎn)D,求點(diǎn)D到BC的距離.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,BD⊥AC,sinA=
3
5
,則cos∠CBD的值是( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別為邊AB、BC的中點(diǎn),連接DE,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AD-DE-EB運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)B停止.點(diǎn)P在AD上以
5
cm/s的速度運(yùn)動(dòng),在折線DE-EB上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí),過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點(diǎn)M落在線段AC上.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).
(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DP的長為
(t-2)
(t-2)
cm,(用含t的代數(shù)式表示).
(2)當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí),求t的值.
(3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí),設(shè)五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

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