Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．

（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形？

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

【答案】（1）28；（2）；（3）當(dāng)t為11秒或12秒或13.2秒時(shí)，△BCQ為等腰三角形；

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；

（2）設(shè)出發(fā)t秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形，則BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有三種情況：

①當(dāng)CQ=BQ時(shí)，則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；

②當(dāng)CQ=BC時(shí)，則BC+CQ=12，易求得t；

③當(dāng)BC=BQ時(shí)，過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則求出BE，CE，即可得出t．

解:（1）∵BQ=2×2=4（cm），

BP=AB﹣AP=16﹣2×1=14（cm ），

∵∠B=90°，

∴S△PBQ=；

（2）BQ=2t，BP=16﹣t，

根據(jù)題意得：2t=16﹣t，

解得：t=，

即出發(fā)秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形；

（3）①當(dāng)CQ=BQ時(shí)，如圖1所示，

則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°．

∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=10，

∴BC+CQ=22，

∴t=22÷2=11秒．

②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖2所示，

則BC+CQ=24，

∴t=24÷2=12秒．

③當(dāng)BC=BQ時(shí)，如圖3所示，

過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，

則BE==，

∴CE===，

∴CQ=2CE=14.4，

∴BC+CQ=26.4，

∴t=26.4÷2=13.2秒．

綜上所述：當(dāng)t為11秒或12秒或13.2秒時(shí)，△BCQ為等腰三角形．