Question

如圖，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是半圓外一點，CA、CB分別交半圓于點D，E若△CDE的面積與四邊形ABED的面積相等，則∠C等于（ ）

A．30°
B．40°
C．45°
D．60°

Answer 1

【答案】分析：由已知可得到△ABC的面積是△CDE的面積的2倍，根據相似三角形的判定方法從而得到△CDE∽△CBA，根據面積比可求得相似比，從而根據三角函數即可求得∠C的度數．
解答：解：連接BD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．
∵△CDE的面積與四邊形ABED的面積相等，
∴△ABC的面積是△CDE的面積的2倍．
∵∠CED+∠DEB=180°，∠DEB+∠DAB=180°，
∴∠CED=∠CAB，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA．
∴S_△CDE：S_△CBA=CD²：CB²=1：2．
∴cosC=CD：CB=：2．
∴∠C=45°．
故選C．
點評：本題考查直徑對的圓周角是直角，相似三角形的判定和性質，圓內接四邊形的性質等知識的綜合運用．