Question

如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長(zhǎng)OA，OD到點(diǎn)F、E，使OF=2OA，OE=2OD，連接EF．將△EOF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到△E₁OF₁，如圖2．
（1）探究AE₁與BF₁的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
（2）當(dāng)時(shí)α=30°，求證：△AOE₁為直角三角形；
（3）判斷△EOF在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與正方形ABCD重合部分的面積是否改變？如果改變，分別寫出重合面積的最大值和最小值各是多少；如果不變，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先證明△AOE₁≌△BOF₁，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得；
（2）延長(zhǎng)OA到M，使AM=OA，則OM=OE₁．易證△OME₁是等邊三角形，利用三線合一定理即可證得；
（3）作ON⊥AB于點(diǎn)N，作OH⊥AD于點(diǎn)H，即可證明：△ONQ≌△OHP，則S_{四邊形OPAQ}=S_{四邊形OHAN}，從而得到．

解答：解：（1）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，
又∵OF=2OA，OE=2OD，
∴OE=OF，則OE₁=OF₁，
在△AOE₁和△BOF₁中，

OE1=OF1 ∠AOE1=∠BOF1 OA=OB

，
∴△AOE₁≌△BOF₁
∴AE₁=BF₁；
（2）延長(zhǎng)OA到M，使AM=OA，則OM=OE₁．
∵正方形ABCD中，∠AOD=90°，
∴∠AOE₁=90°-30°=60°，
∴△OME₁是等邊三角形，
又∵AM=OA，
∴AE₁⊥OM，
∴△AOE₁為直角三角形；
（3）作ON⊥AB于點(diǎn)N，作OH⊥AD于點(diǎn)H．
在△ONQ和△OHP中，

∠QON=∠PON ∠ONQ=∠OHP OH=ON

，
∴△ONQ≌△OHP，
∴S_{四邊形OPAQ}=S_{四邊形OHAN}，
則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與正方形ABCD重合部分的面積不變．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)，正確證明三角形全等是關(guān)鍵．