Question

如圖，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn)，B是弧AD的中點(diǎn)，P點(diǎn)為直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CD=4時(shí)，
求：（1）AP+BP的最小值．
（2）AP-BP的最大值．

Answer 1

解：（1）作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交MN于點(diǎn)P，則PA+PB最小，
連接OA′，AA′．
∵點(diǎn)A與A′關(guān)于MN對(duì)稱，點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵點(diǎn)B是弧AN^的中點(diǎn)，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=2，
∴A′B=2．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．

（2）連接AO，BO，AB，過點(diǎn)A作AN⊥OB，
∵CD是⊙O的直徑，點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn)，B是弧AD的中點(diǎn)，CD=4，
∴∠AOB=30°，AN=AO=1，
∴ON=，BN=2-，
∴AP-BP最大值=AB==2．
分析：（1）本題是要在MN上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，設(shè)A′是A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接A′B，與MN的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．此時(shí)PA+PB=A′B是最小值，可證△OA′B是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果．
（2）連接AO，BO，AB，過點(diǎn)A作AN⊥OB，利用AP-BP最大值=AB求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了軸對(duì)稱最短線段問題以及垂徑定理和勾股定理等知識(shí)，正確確定P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，確定點(diǎn)P的位置這類題在課本中有原題，因此加強(qiáng)課本題目的訓(xùn)練至關(guān)重要．