【題目】正方形OABC的邊長為1,把它放在如圖所示的直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(t,0)是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(t1),連接BM,在BM的右側(cè)作正方形BMNP;直線DE的解析式為y=2x+b,與x軸交于點(diǎn)D,與y軸交于點(diǎn)E,當(dāng)△PDE為等腰直角三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____

【答案】(4,4)或(4,2).

【解析】

過點(diǎn)PPFBCCB的延長線于點(diǎn)F,根據(jù)同角的余角相等可得∠ABM=FBP,然后利用角角邊證明ABMFBP全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=AB,PF=AM,然后根據(jù)正方形OABC的邊長為2以及點(diǎn)M(t,0)表示出點(diǎn)P的坐標(biāo),再利用直線DE的解析式求出點(diǎn)D、E的坐標(biāo),然后分①DE是斜邊時(shí),利用勾股定理以及兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出PD、PE、DE的平方,再根據(jù)等腰直角三角形的三邊關(guān)系,②PD是斜邊時(shí),過點(diǎn)PPFy軸于點(diǎn)F,然后利用角角邊證明EDOPEF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=DO,PC=EO,然后用b、t表示并求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).

如圖,

過點(diǎn)PPFBCCB的延長線于點(diǎn)F,

∵四邊形OABC與四邊形BMNP都是正方形,

∴∠ABM+MBF=90°,

FBP+MBF=90°,

∴∠ABM=FBP,

ABMFBP中,

∴△ABM≌△FBP(AAS),

BF=AB,PF=AM,

∵正方形OABC的邊長為1,點(diǎn)M(t,0),

BF=1,PF=t-1,

點(diǎn)Px軸的距離為t-1+1=t,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,t),

又∵當(dāng)y=0時(shí),2x+b=0,解得x=-,

當(dāng)x=0時(shí),y=b,

∴點(diǎn)D(-,0),E(0,b),

DE是斜邊時(shí),

PD2=(+2)2+t2,PE2=(b-t)2+22,DE2=(2+b2,

∵△PDE是等腰直角三角形,

PD2=PE2,且PD2+PE2=DE2

即(+2)2+t2=(b-t)2+22,且(+2)2+t2+(b-t)2+22=(2+b2

b2+2b+4+t2=b2-2bt+t2+4,且b2+2b+4+t2+b2-2bt+t2+4=b2+b2

整理得,b=(t+2)且t2-b(t-2)+16=0,

t2-(t+2)(t-2)+16=0,

整理得,t2=16,

解得t1=4,t2=-4(舍去),

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4,4);

PD是斜邊時(shí),∵△PDE是等腰直角三角形,

PEDE,且PE=DE,

過點(diǎn)PPFy軸于點(diǎn)F,

∵∠DEO+PEO=90°,DEO+EDO=90°,

∴∠PEO=EDO,

EDOPEF中,

,

∴△EDO≌△PEF(AAS),

EF=DO=,PC=EO=b,

又∵點(diǎn)P(4,t),

b=4,b-t=,

解得t==×4=2,

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(4,2),

此時(shí)點(diǎn)C、F重合,點(diǎn)M、A重合,

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)或(4,2).

故答案為:(4,4)或(4,2).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,某市自來水公司對(duì)每戶月用水量進(jìn)行計(jì)費(fèi),每戶每月用水量在規(guī)定噸數(shù)以下的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)相同;規(guī)定噸數(shù)以上的超過部分收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)相同,以下是小明家月份用水量和交費(fèi)情況:

月份

用水量(噸)

費(fèi)用(元)

根據(jù)表格中提供的信息,回答以下問題:

求出規(guī)定噸數(shù)和兩種收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn);

若小明家月份用水噸,則應(yīng)繳多少元?

若小明家月份繳水費(fèi)元,則月份用水多少噸?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,ABCADE都是等腰三角形,BC、DE分別是這兩個(gè)等腰三角形的底邊,且∠BAC=DAE.

(1)求證:BD=CE;

(2)連接DC.如果CD=CE,試說明直線AD垂直平分線段BC.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)C(0,5),另拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,8),M為它的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;
(2)求△MCB的面積SMCB
(3)在坐標(biāo)軸上,是否存在點(diǎn)N,滿足△BCN為直角三角形?如存在,請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,下面不能判斷是平行四邊形的是( )

A. ∠B=∠D,∠A=∠C

B. AB∥CDAD∥BC

C. ∠B+∠DAB=180°,∠B+∠BCD=180°

D. AB∥CD,AB=CD

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P,AB=5,BP=2,把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBP',則PP'的長為(

A.2
B.
C.3
D.3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】8筐白菜,以每25千克為標(biāo)準(zhǔn),超過的千克數(shù)記作正數(shù),不足的千克數(shù)記作負(fù)數(shù),稱后的紀(jì)錄如下:

回答下列問題:

1)這8筐白菜中最接近標(biāo)準(zhǔn)重量的這筐白菜重______ 千克;

2)與標(biāo)準(zhǔn)重量比較,8筐白菜總計(jì)超過或不足多少千克?

3)若白菜每千克售價(jià)2元,則出售這8筐白菜可賣多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一種筆記本的售價(jià)為2.2/本,如果買100本以上,超過100本部分的售價(jià)為2/本.

(1)小強(qiáng)和小明分別買了50本和200本,他們倆分別花了多少錢?

(2)如果小紅買這種筆記本花了380元,她買了多少本?

(3)如果小紅買這種筆記本花了n元,她又買了多少本?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣4,0)、B(1,0)、C(0,3)三點(diǎn),直線y=mx+n經(jīng)過A(﹣4,0)、C(0,3)兩點(diǎn).

(1)寫出方程ax2+bx+c=0的解;
(2)若ax2+bx+c>mx+n,寫出x的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案