Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）圖象的頂點(diǎn)為D，其圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣1、3，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，在下面四個(gè)結(jié)論中：

①2a+b=0；

②c=﹣3a；

③只有當(dāng)a=時(shí)，△ABD是等腰直角三角形；

④使△ACB為等腰三角形的a的值有三個(gè)．

其中正確的結(jié)論是_____．（請(qǐng)把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為-1，3確定出AB的長(zhǎng)及對(duì)稱軸，可判定①；由A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），可得a﹣b+c=0，由①得b=﹣2a，可得a+2a+c=0，即c=﹣3a．可判定②；要使△ABD為等腰直角三角形，必須保證D到x軸的距離等于AB長(zhǎng)的一半；即D到x軸的距離就是當(dāng)x=1時(shí)y的值的絕對(duì)值．所以當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c，即|a+b+c|=2，由圖象可知當(dāng)x=1時(shí)y＜0，即可得a+b+c=﹣2，又因圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，∴當(dāng)x=﹣1時(shí)y=0，即a﹣b+c=0，x=3時(shí)y=0，即9a+3b+c=0，解這三個(gè)方程求得b、a、c的值，即可判定③；要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，根據(jù)這三種情況求得a的值，即可判定④.

①∵圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，

∴AB=4，

∴對(duì)稱軸x=﹣=1，

即2a+b=0．故①正確；

②∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，

∴a+2a+c=0，即c=﹣3a．故②正確；

③要使△ABD為等腰直角三角形，必須保證D到x軸的距離等于AB長(zhǎng)的一半；

D到x軸的距離就是當(dāng)x=1時(shí)y的值的絕對(duì)值．

當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c，

即|a+b+c|=2，

∵當(dāng)x=1時(shí)y＜0，

∴a+b+c=﹣2，

又∵圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，

∴當(dāng)x=﹣1時(shí)y=0，即a﹣b+c=0，

x=3時(shí)y=0，即9a+3b+c=0，

解這三個(gè)方程可得：b=﹣1，a=，c=﹣．故③正確；

④要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，

當(dāng)AB=BC=4時(shí)，

∵BO=3，△BOC為直角三角形，

又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，

∴c2=16﹣9=7，

∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，

∴c=﹣，

與2a+b=0、a﹣b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a=；

同理當(dāng)AB=AC=4時(shí)，

∵AO=1，△AOC為直角三角形，

又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，

∴c2=16﹣1=15，

∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，

∴c=﹣，

與2a+b=0、a﹣b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a=；

同理當(dāng)AC=BC時(shí)，

在△AOC中，AC2=1+c2，

在△BOC中BC2=c2+9，

∵AC=BC，

∴1+c2=c2+9，此方程無(wú)解．

經(jīng)解方程組可知只有兩個(gè)a值滿足條件．所以④錯(cuò)誤．

故答案為：①②③．