Question

如圖所示，∠AOB=90°，O為的中點，且C、D是的三等分點，AB分別交OC，OD于點E，F．
求證：AE=BF=CD．

Answer 1

證明：∵O為的中點，
∴OA=OB，
∴點O為所在圓的圓心，
連接AC、BD，則有AC=CD=BD，
∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
∴△ACO≌△DCO．
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD==75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
故AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴AE=CD=BF．
分析：由于C、D是弧AB的三等分點，易得∠AOC=∠DOB，又OA=OB=OC，易證得△AOC≌△OCD，可得∠ACO=∠OCD，易知∠AEC=∠OCD，因此∠ACO=∠AEC，即AC=AE=BF．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定和性質、圓周角定理、等腰三角形的性質等知識的綜合應用能力．