【題目】某校初二數(shù)學(xué)興趣小組活動時(shí),碰到這樣一道題:

“已知正方形AD,點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CDDA上,若,則EG=FH”.

經(jīng)過思考,大家給出了以下兩個(gè)方案:

(甲)過點(diǎn)AAMHFBC于點(diǎn)M,過點(diǎn)BBNEGCD于點(diǎn)N;

(乙)過點(diǎn)AAMHFBC于點(diǎn)M,作ANEGCD的延長線于點(diǎn)N;

1)對小杰遇到的問題,請?jiān)诩、乙兩個(gè)方案中任選一個(gè),加以證明(如圖1)

2)如果把條件中的“”改為“EGFH的夾角為45°”,并假設(shè)正方形ABCD的邊長為1,FH的長為(如圖2),試求EG的長度.

【答案】(1) 證明見解析;(2

【解析】

1)無論選甲還是選乙都是通過構(gòu)建全等三角形來求解.甲中,通過證△AMB≌△BNC來得出所求的結(jié)論.乙中,通過證△AMB≌△ADN來得出結(jié)論;

2)按(1)的思路也要通過構(gòu)建全等三角形來求解,可過點(diǎn)AAMHFBC于點(diǎn)M,過點(diǎn)AANEGCD于點(diǎn)N,將△AND繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△APB,不難得出△APM和△ANM全等,那么可得出PM=MN,而MB的長可在直角三角形ABM中根據(jù)ABAM(即HF的長)求出.如果設(shè)DN=x,那么NM=PM=BM+xMC=BC-BM=1-BM,因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的長,進(jìn)而可在直角三角形AND中求出ANEG的長.

1)選甲:證明:過點(diǎn)AAMHFBC于點(diǎn)M,過點(diǎn)BBNEGCD于點(diǎn)N

AM=HF,BN=EG

∵正方形ABCD,

AB=BC,∠ABC=BCN=90°,

EGFH

AMBN

∴∠BAM+ABN=90°

∵∠CBN+ABN=90°

∴∠BAM=CBN

ABMCBN中,∠BAM=CBN,AB=BC,∠ABM=BCN

∴△ABM≌△CBN,

AM=BN

EG=FH;

選乙:證明:過點(diǎn)AAMHFBC于點(diǎn)M,作ANEGCD的延長線于點(diǎn)N

AM=HF,AN=EG

∵正方形ABCD,

AB=AD,∠BAD=ADN=90°,

EGFH

∴∠NAM=90°

∴∠BAM=DAN

ABMADN中,∠BAM=DAN,AB=AD,∠ABM=ADN

∴△ABM≌△ADN,

AM=AN

EG=FH

2)解:過點(diǎn)AAMHFBC于點(diǎn)M,過點(diǎn)AANEGCD于點(diǎn)N,

AB=1AM=FH=

∴在RtABM中,BM=

AND繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到APB,

EGFH的夾角為45°,

∴∠MAN=45°,

∴∠DAN+MAB=45°,

即∠PAM=MAN=45°,

從而△APM≌△ANM

PM=NM

設(shè)DN=x,則NC=1-x,NM=PM=+x

RtCMN中,(+x2=+1-x2,

解得x=,

EG=AN=

答:EG的長為

練習(xí)冊系列答案
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a.甲校20名學(xué)生成績的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖如下:

b.甲校成績在的這一組的具體成績是:

87 88 88 88 89 89 89 89

c.甲、乙兩校成績的平均分、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下:

根據(jù)以上圖表提供的信息,解答下列問題:

1)表1a =   ;表2中的中位數(shù)n =   ;

2)補(bǔ)全圖1甲校學(xué)生樣本成績頻數(shù)分布直方圖;

3)在此次測試中,某學(xué)生的成績是87分,在他所屬學(xué)校排在前10名,由表中數(shù)據(jù)可知該學(xué)生是 校的學(xué)生(填“甲”或“乙”),理由是 ;

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