Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點D是的中點，PD切⊙O于點D．
（1）求證：DP⊥AP；
（2）若PD=12，PC=8，求⊙O的半徑R的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BC、OD，相交于點E．因為D是弧BC的中點，根據(jù)垂徑定理及推論可以知道OD⊥BC，而AB是直徑，可以推出∠ACB=90°；又因為，PD切⊙O于點D，則∠PDE=90°；所以可證明四邊形PDEC為矩形，問題的證；
（2）有（1）的結(jié)論和根據(jù)切割線定理求出PA，最后在Rt△ACB中利用勾股定理求出圓的半徑即可．
解答：（1）證明：連接BC、OD，相交于點E；
∵點D是的中點，
∴OD⊥BC，
∴∠CED=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∵∠ACB=90°，
∵PD為⊙O的切線，
∴OD⊥PD，
∴∠PDE=90°
∴四邊形PDEC為矩形，
∴DP⊥AP；

（2）由（1）可知四邊形PDEC為矩形，
∴PD=CE=12，
∴BC=2CE=24；
∵PD²=PC•PA，
∴PA===18，
∴AC=PA-PC=18-8=10；
∵AB²=AC²+BC²=10²+24²=676，
∴AB=26，
∴⊙O的半徑R=13．
點評：此題主要考查了垂徑定理，切線的判定定理，切割線定理及勾股定理的綜合運用．